李群李代数简介作者｜胡竭末编辑

【李群李代数简介】作者｜胡竭末
编辑｜TraderJoe's
对称性在现代物理中占据核心地位，而描述对称性最有力的工具就是群论。
在本文我们将简单介绍一种特殊的群——李群。
物理上经常会遇到一些能连续变化的对称性，为了描述这种连续变化的对称，我们就要借助李群。
比如洛伦兹对称性就是这样一种对称性，借助李群（及它的表示论）的概念，我们可以定量地描述洛伦兹变换甚至由此导出自旋的概念。
另一方面，现代粒子物理有一个很重要的思想那就是理论告诉我们实验能看到什么，这当然不是说理论可以瞎编而不用对实验结果负责，应该来说这句话是指只有通过理论才能赋予实验数据意义。
从这点上讲，我们如今所谈的“粒子”这个概念其实是指“李群的不可约表示空间的基”这样一个东西。
因此即便不进行定量运算，仅仅是从概念上了解现代粒子物理也需要李群的知识。
更进一步的，目前人类最准确的物理理论——标准模型，它本质是一个规范理论，而这个规范理论的核心要素规范群就是一个李群。
总之，物理学家能不用的数学一定是不用的，而李群李代数如此广泛地出现在物理理论中说明现代粒子物理真的离不开它。
本文的目的是简单介绍李群李代数：
第一节我们回顾群的基本定义
第二节给出李群的定义
第三节介绍李代数以及它和李群的关系
一、群和对称
对称是一个极其常见的概念，但是数学上如何准确地描述这个概念却不是一个简单的问题。
为了精确地描述这个概念，我们先诉诸于直观。
考虑一个正方形，我们会说它沿对角线或者中线（两条对边中点的连线）对称，原因是沿线两边“长得一样” 。
如果这时候我们把它沿对称轴翻转，那么由于左右两边长得一样，因此我们看不出翻转操作前后这两个正方形有什么不同，既然如此，我们就可以说在这个操作下正方形是不变的。

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如果我们继续沿先前的对称轴翻转，很明显正方形还是不变，对于同样的操作（沿先前的对称轴翻转）无论我们翻转多少次，正方形都是不变的。
现在我们可以对对称下一个定义：
某个操作保持被操作对象不变，那么我们称这是一个对称操作。
有的时候也会说这个对象具有相应操作的对称性。
理清楚了对称指什么，我们现在需要找到某个理论来描述它，这个理论就是群论。

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先给出群的定义
设一个集合，集合内的任意两个元素间，存在这样一个二元运算
1.封闭性
即任意两个元素的运算结果仍然在这个集合内。
2.结合律
3.存在唯一单位元
4.集合中任意元素存在唯一逆元
那么我们就说这个集合和二元运算构成了一个群。
对于正方形的对称变换一共有8个元素，分别是：
恒等变换，顺时针旋转，顺时针旋转，顺时针旋转，沿四个对称轴的翻折。
很容易可以验证它们满足群的定义，习惯上我们称这个群为。
另一个例子是所有的整数和加法操作构成一个群，称为加法群。
只有有限个群元，加法群则有无限个。
为什么说群对应了对称呢？
我们可以想象既然对称操作不改变对象，那么无论什么样的对称操作相继加在对象上也仍然是对称操作，同时总有一个恒等操作——什么也不操作。