李群李代数简介( 三 ) 作者｜胡竭末编辑

所以群作用不改变我们构造的切向量场，证毕。
对于任何的位于原点处的切向量，我们可以用这种方法构造向量场。对于向量场，可以求它们的李导数
我们把求得的李导数在原点处的值记为，这样一来就可以定义一个新的原点处切空间中的二元运算
可以证明这个新的运算还满足分配率
我们把这样的新的一个代数关系称为李群的李代数。

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数学上李代数并不依赖于李群而存在，我们完全可以脱离李群单独学习使用李代数。不过物理上一般李群和李代数都是结合在一起的，因此我们接下来简单聊聊李群和李代数的关系。
从构造李代数的过程中我们可以看到，李代数可以在局部转变为李群元素，因为李代数可以看成是李群单位元上的一个切向量，所以这个切向量可以生成一个局部的流满足
解出这个流，我们发现结果是一个指数映射
由此知道了原点附近这一条曲线上的元素了，取不同的切向量，就得到不同方向的流，从而可解出原点附近所有的元素。
不过这种方法一般来说不能得到李群的所有元素，只有紧致连通李群指数映射才是满射。
有时我们也会把叫做生成元，当我们把叫做生成元时，强调的是它的李代数性质而非流形上的切向量。
李代数把处理李群这样一个非线性的对象转变成了自身这种线性空间，这大大方便了很多问题，不过李代数只能反映李群的局部性质，对于整体性质则无能为力，事实上不同的李群可以有相同的李代数，因此对李群的研究也不能仅借助李代数。
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来源：yubr
编辑：牧鱼