李群李代数简介( 二 ) 作者｜胡竭末编辑

而对于存在逆操作的要求也是非常自然的（事实上，对于仅不满足群定义4的集合，我们称它为（幺）半群，现代物理里非常重要的重整化群就是半群。）。
如此对照，我们就发现对称操作通常自然地拥有群结构，因此，我们可以用群论来研究它。
二、李群
我们已经知道了群可以对应到正方形的对称变换，那么一个圆的对称群是怎么样的呢？
直观上我们会认为圆比正方形更对称，因为以圆心为旋转轴，旋转任意角度，圆都保持不变，所以我们可以说有无数个对称操作。那么对应的群也应该包含无数个群元。

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有无限群元的群并不是什么奇怪的情况，我们熟悉的加法群就有无限个群元。
但是对于圆的对称操作似乎还有什么不同于加法群这种无限群的地方，这是什么呢？
答案就是当我们说到圆的变换时，我们可以谈圆转了一个无穷小的角度。对于群这个代数结构来说并不能体现“无穷小”这个概念，因为无穷小涉及到极限，而极限的概念依赖于拓扑而非群。
所以我们需要同时用到群结构和拓扑结构才可以准确的说明这种变换。
在实际应用中，我们通常不仅需要拓扑结构，还需要建立在拓扑上的微分结构，这两者结合就引出了李群的概念。定义
一个李群为一个集合，满足
1.是个群
2.是个微分流形
3.的群结构和微分结构相容。
一般来说我们会将每一个群元对应到流形上一点，并且把单位元置于原点处。相容性条件告诉我们群运算
1）
可以写成流形上的一个二元映射
并且映射是光滑的。
2）,存在满足
。
李群同时具有群结构和微分结构，这使得我们可以同时用群和流形的方法去研究它。

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我们来看几个例子
1.矩阵群
一维幺正群是满足的群。我们可以把它直接写出来，
所以它所对应的流形就是圆。
2.矩阵群
二维幺正群是满足的群。如果我们要求它的矩阵表示还满足，那么我们称这个子群为矩阵群。
它的群元满足
因此
所以只有3个独立的实参数，可以写成
约束条件告诉我们，这是一个三维球面。
三、李代数
现在让我们看看同时用群和流形的手段可以得到些什么。
对于微分流形，我们知道可以在上面有切向量。
现在考虑在原点处的一个切向量，由于李群的每一个元素同时还是一个群元，所以任何群元都可以作用到原点。
这样一个群作用是一个光滑映射，那么我们可以问这个映射对切向量有什么影响？
由微分流形的知识我们可知，任何一个对流形的光滑映射
都可以生成一个对切向量的推前映射，
因此群元就伴随着这么一个推前映射，从而把原点处的切向量映到点处的某个切向量（注意，之所以这样是因为我们把原点设成了单位元，所以作用到原点结果为点。）。
我们用这种方式将所有的群元都作用到切向量上，从而可一个切向量场。
这个切向量场有一个非常特殊的性质，那就是群作用对它保持不变，因此我们把它叫做（左）不变向量场。下面给出简单的证明
设这个向量场在任意点的向量为，由上面的构造我们知道，这个是从原点处做推前映射而来的
由于群运算，我们知道，因此