九连环简单易懂的解法？中国古环——九连环 _连环

中国古环类益智玩具，其发源甚早，可追溯到2000多年前的春秋战国时期.据《战国策-齐策六》记载，秦曾遣使携“玉连环”赴齐，对王后说: “齐多知，而解此环不？”君王后以示群臣，群臣不知解，君王后随引椎椎破之，谢秦王使曰：“谨以解矣.”
北宋著名词人周邦彦在《商调·解连环·春景》一词中，有“信妙手，能解连环”之句.据《西湖老人繁盛录》中记载，南宋时，都城临安（今杭州）集市上，有出售“解玉板之类”的玩具者.民间有俗语云“解不开的歧中易，卸不下的九连环。”
元代杂剧作家郑德辉，以《战国策》中九连环的故事为素材，创作了杂剧《丑齐后无盐破连环》.在剧中，无盐姑娘以其过人的聪明才智，轻易地拆解了玉连环.待到明代，此玩具已相当普及.明代杨慎在《丹铅总录》中说：“九连环之制，玉人之功者为之，两环互相贯为一，得其关振，解之为二，又合而为一.今有此器，谓之九连环，以铜铁为之，以代玉，闺妇孩童以为玩具.”
到了清代，流传更广，《红楼梦》第七回里写了黛玉、宝玉等玩九连环的事.乾隆年间刻本曲谱《霓裳续谱》中，录有《九连环》小曲：“有情人，送奴一把九连环，九呀九连环，十指纤纤解不开，拿把刀来割，割也割不开.”
16世纪，意大利人卡丹在其概率论著作《论赌博》中，描述了这种玩具.
下图1所示的是九连环.玩九连环的方法，就是把钗H从重重环扣中解脱出来或从解脱分离状态，装到重重环扣中去.当玩起来时，九连环主要是操作诸环，使它们在钗上穿套运动.歧中易可看作是九连环的变体，主要是操纵钗，在环中穿来套去.

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九连环图1
进一步的变体有汉字益智环，如鼎环等.寿环，还有孔明锁、韩湘子花篮、关公进城，蝴蝶对头飞，蛇环等。
可是，“正宗”的文献，除了只言片语之外，对这些形制精巧、拆解困难的玩意，却很少详记，它只能像民歌、民间算题、一掌金算法、风筝、剪纸等一样流布民间.
古环艺人，历朝历代都有.有一次游庐山，见一老人边做边卖“韩湘子花篮”，见者无不抢购.20世纪以来，中国古环领域出现了一股从制作探索到学术研究的可喜潮流.20世纪末，北京玩具协会还成立了一个“智力玩具小组”，致力对这类玩具的研究和开发.
在英国皇家学会会员、科学史家李约瑟（Joseph Needham）的名著《中国科学技术史》的第三卷的249页上说“例如，拓扑学上的’中国九连环之谜’（它可能是从算盘演变出来的），最初见于卡丹（Cardan）的著作，后来华立斯为它提供了详细的数学说明，格罗斯在19世纪应用二进制计数法，给了它以最优美的数学解答，这种玩具在中国普遍称为’连环圈’……”.
为了使大家能了解“连环拆装的数学模型”并加以对比，我们接下来介绍求解拆装）的直接方法和二进制解法.

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九连环图2
1. 环1可以放下（即从钗上取下并从两梁间穿过放下）或套上（从下边穿过两梁间拿到上边套到钗上），而与其他环在钗上、钗下无关.
2. 号数为3, 4, 5,…的环放上或放下，当且仅当比其号数小1的环在钗上，而所有其他号数小2及以上的环在钗下，与其他号数大的环在钗上、钗下无关.
3. 环2可与环1同时放上或放下，与其他环的位置无关.
抓住这三条性质，经过若干练习，就可以熟练地玩九连环了.
但是，拆下或装上九连环，至少要做多少个“动作”呢？
要算这“动作”的次数，可要用一点数学知识了.这里，我们介绍多莫里亚特的方法，自然，它很容易，只要玩熟了九连环，想着自己玩的过程，耐心地边读边想即可.
我们称放上或放下一个环叫作“一着”.设共有n个环：编号依次为
n, n - 1, n - 2, n - 3, , ……, 3, 2, 1.
可以画图来表示（如下图）：环在钗上，相应字母写在横线上方，环在钗下，相应字母写在横线下方.

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能不能求出通项公式呢?
那不难.①式可以作为一个差分方程来求解，也可以用归纳一猜想证明的方法.我们试试后一种:
当n= 1, 2, 3, 4,…时，得:
1, 1, 4, 7, 16, 31, 64, 127, 256, 511,… ②
由此看岀，奇数项为2的n-1,偶数项为2的n-1再减1.
合并后有

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显然U?=U?=1 ,即对n=1, 2成立.现假设对n=k,k+1,③式成立，那么，由①
式和归纳假设，有

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即③式对n=k+ 2成立，因此，对一切自然数n成立.
【九连环简单易懂的解法？中国古环——九连环】按公式③，Un的值将随以的增加而迅速增加,成为即使日夜不停，也拆解不开的“百连环”.