在量子世界玩数独：被判为无解的数学谜题，物理学家找出了答案图片来源：Pixabay数学家欧拉提

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数学家欧拉提出过一个类似6×6数独的36军官问题：从6个军团各挑6种不同军衔的军官一共36人，将这36名军官排成一个方阵，能否让每一行、每一列的军官所属的军团和军衔都不相同？后来数学家证明了，类似的5阶、7阶问题都有解，唯独在6阶无解。再后来，一群物理学家开了脑洞：如果每个军官都处在两个军团和两种军衔的叠加态中，这个问题还有解吗？他们真的找到了一个量子解……
数独游戏风靡全球，无论你是否爱玩，至少也听说过这种游戏的规则：一个9×9的网格被分为9个3×3的“宫” ，将数字1~9填入这些格子中，要保证每行、每列和每宫都没有重复的数字。一般一个数独游戏会给出部分提示数，剩下的数字则需要玩家推理填补上。就是这样一个简单的规则，衍生出了非常多的解题技巧，引得无数玩家乐此不疲。
数独的前身可以追溯到18世纪的欧洲，数学家莱昂哈德·欧拉（LeonhardEuler）总结了当时流行的一种填字游戏，称为“拉丁方阵”（Latinsquare）。游戏的规则即是在n阶的方形网格中填入n种拉丁字母（类似于2阶数独中，填入数字1~2 ，而3阶数独中填入1~3），使得每行、每列的字母都不会重复。这种方阵不限于9阶，也没有宫的限制，但保留了数独最基本的“每行每列不重复”的要求。
不过让欧拉着迷的是拉丁方阵的一种更复杂的版本。欧拉考虑往每个格子中填入一个拉丁字母和一个希腊字母，使得每行、每列的字母都不会重复，并且每个格子中的希腊-拉丁字母对也不重复。这种方阵叫做“希腊-拉丁方阵”（Graeco-Latinsquare），其实质是将两个正交拉丁方阵（orthogonalLatinsquares）并成一个方阵。这里的“正交”即是指，两个方阵对应格子组成的有序对不重复。如果你也想尝试，格子里的元素并不一定要是希腊和拉丁字母，你也可以用扑克牌的花色组合，甚至有序数对表示。

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同一个三阶希腊-拉丁方阵用字母、扑克花色、有序数对表示。（图片来源：arXiv:2104.05122v2）
无解的36军官问题
欧拉在仔细考察了希腊-拉丁方阵后发现了一个有趣的现象：3 ， 4 ， 5 ， 7阶的希腊-拉丁方阵都可以构造出来，但是无法构造出2阶和6阶的希腊-拉丁方阵。 2阶的问题比较好处理，通过穷举法就能看出这样的希腊-拉丁方阵不存在，而6阶的问题相对复杂一些。欧拉用更通俗的语言复述了这个问题：从6个军团各挑6种不同军衔的军官一共36人，将这36名军官排成一个方阵，能否让每一行、每一列的军官所属的军团和军衔都不相同？

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3 ， 4 ， 5 ， 7阶军官问题的解。其中格子的颜色代表军团，格子中的符号代表军衔（图片来源：Wikipedia）
欧拉认为这个“36军官问题”问题是无解的，即不存在6阶的希腊-拉丁方阵。并且他猜想，所有阶数为除以4余2的数的希腊-拉丁方阵都不存在，也就是说， 2 ， 6 ， 10 ， 14……阶的希腊-拉丁方阵都不存在。
一个多世纪后的1901年，法国数学家加斯顿·塔里（GastonTarry）通过穷举法证实了，按规则构造出来的6阶方阵总会有格子里的元素是重复的， 6阶希腊-拉丁方阵确实不存在。到了1959年，有数学家证明了欧拉进一步的猜想是不成立的，也就是说，除了2阶和6阶，其他阶数的希腊-拉丁方阵都是存在的。至此，这个关于原始版数独的问题在数学上有了答案。