在量子世界玩数独：被判为无解的数学谜题，物理学家找出了答案( 二 ) 图片来源：Pixabay数学家欧拉提

量子解法
时间来到21世纪，一帮物理学家重新翻出了欧拉的36军官问题。尽管这个问题在数学上已经有了定论，但他们从物理学的角度开了个脑洞：假如这36军官处在一种量子叠加态中，每个军官“部分地”属于一个军团和一种军衔，又“部分地”属于另一个军团和另一种军衔，那这个问题还有解吗？
沿着这个思路，有物理学家修改了一下希腊-拉丁方阵的构造规则，给出了一个量子版本的数独游戏。在量子力学中，物体的状态可以用向量来表示。在量子版36军官问题中，每个军官所属的军团可以表示为一个6维空间中的向量，所属的军衔又可以表示为另一个6维空间中的向量。由于军官可以处在各种叠加态中，这些向量可以各不相同，它们排列成的6×6方阵也就很容易满足“每行每列的向量各不相同”的要求，但这没有研究价值。物理学家感兴趣的是，每行、每列的向量是否构成了所属空间的一组标准正交基。

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图片来源：OlenaShmahalo
要理解所谓“标准正交基” ，可以做个类比。我们所熟悉的三维空间中，可以建立直角坐标系，沿坐标系中的x ， y ， z轴方向的单位向量便构成了一组标准正交基，这三个向量满足：方向上两两垂直，大小上都为单位长度。 36军官问题可做类似理解，这意味着， 6×6方阵中代表军官军团和军衔的向量要满足：每行、每列的向量两两垂直，并且大小为单位长度。
事实上，代表军团的6维空间和代表军衔的6维空间可以扩充为一个36维空间，而每个军官的军团和军衔可以由这个36维空间中的一个向量表示。这些向量排列成的6×6方阵依然需要满足：每行、每列的向量两两垂直，并且大小为单位长度。
在近期提交给《物理评论快报》的一篇预印本论文中，来自印度理工学院、波兰雅盖隆大学等机构的物理学家为这个量子版本的36军官问题找到了解。他们先是构造出了一个经典的6×6希腊-拉丁方阵的近似解（这意味着有部分格子里的元素是重复的），然后在计算机的帮助下，将这个近似解调整为量子版本的解。他们使用了一种算法实现这一点，这种算法有点像蛮力解魔方，先拼好第一行，然后拼第一列、第二列，以此类推，直到终于拼出完整的魔方。当他们一遍遍重复该算法后，得到了量子版36军官问题的解。

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量子版36军官问题的一个解，每个格子中的牌都处在两种点数和两种花色的叠加态中，其中字体的大小反映了叠加分量的大小。（图片来源：arXiv:2104.05122v2）
这篇论文用扑克牌代替了军官：点数A ， K ， Q ， J ， 10 ， 9代替了军团；花色，，，，，代替了军衔。最终得到的量子解中，每个格子上的牌都处在两种点数和两种花色的叠加态中。值得注意的是，凡是格子中出现了点数A ，与之叠加的点数一定是K；Q与J ， 10与9同理。而凡是格子中出现了花色，与之叠加的花色一定是；与，与同理。这说明，点数和花色各自两两发生了量子纠缠。也正是由于纠缠态的存在，整个方阵就不能像经典的希腊-拉丁方阵那样，按点数和花色分解成两个独立的拉丁方阵。这也是量子拉丁方阵的特别之处。
研究人员说，这个古老数独问题的量子解，等价于一个4粒子系统的绝对最大纠缠态（AbsolutelyMaximallyEntangledstate）。这种纠缠态可以应用于量子计算中的纠错等许多场景，例如在量子计算机中以这种状态存储冗余信息，即使数据遭到损坏，信息也能保存下来。这个源自欧拉的古老数学问题，在243年后得到了一个物理学上的新解答。或许对于理论物理学家来说，这只是一次好玩的脑洞，却让量子通信和量子计算领域的研究者从中受益。科学的进步往往就发生在这样的游戏中。