流体力学的另一个江湖( 二 ) 如果将传统流体力学形容为一

少侠的出场虽然霸道，可是想要成为大侠尚需时日。随着方法的深入研究，人们发现LGA也有其天生的缺陷。对于湍流问题， LGA由于自由度（速度方向的数目）太低难以精确描述；而布尔运算又在局部带来了明显的数值噪声；更重要的是，通用计算机已朝着浮点运算的方向迅猛发展，只进行布尔运算则效率很低，人们不得不专门研制硬件。

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03LBM的雏形
为了应对LGA的种种缺陷， 1988年McNamara和Zanetti从分子混沌的假设（忽略分子之间的相关性）出发，把LGA中的布尔运算替换成实数运算，粒子不再是0或者1 ，而演化为大神玻尔兹曼的分布函数f ，并用玻尔兹曼输运方程代替了LGA的演化方程，叩开了格子波尔兹曼方法的大门。 1989年， Higuera和Jimenez又引入平衡态分布函数feq简化了碰撞算子。

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随后， LBM的发展迎来了华人之光。 1991年，陈十一、陈沪东以及J.M.V.A.Koelman等学者分别独立提出了基于BGK单松弛模型将碰撞算子线性化的思路，即以控制趋近平衡态快慢的方式简化碰撞算子；而后，钱跃竑和陈沪东等学者又分别基于不同形式的格子和BGK模型，并使用麦克斯韦-玻尔兹曼分布来代替平衡态函数feq ，并恢复了N-S方程。从此以后LBM开启了从少侠走向大侠的武学探索之路。
值得一提的是，上述方法源自于1954年Bhatnagar、Gross和Krook为简化玻尔兹曼输运方程而提出的碰撞间隔理论，又被称为格子BGK模型（即LBGK）。看来想要成为一代武学大师，还是需要旁征博引，啥武功都要会一点。
04从LBM到流体力学
相对于LGA ， LBM有两个巨大的优势：
在方程左侧利用统计函数消除数值噪声
在方程右侧使用碰撞算子的连续函数代替离散的碰撞规则
于是， LBM在速度分布函数和LBGK的加持下，就如同武林高手打通了任督二脉一样，展现了巨大的优势和潜力。

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在LBM方法中，速度分布函数f依赖于位置与时间，因此在传统力学（物理量是位置和时间的函数）框架下， f依然是个连续的量——这也是它在宏观框架下亦能代表流体运动的基本依据。同样，由于f同时包含了位置、速度、时间的信息，而压力、密度等宏观变量通常只与位置和时间相关，因此如果对微观速度进行积分而移除其依赖性，即可得出各类宏观变量。

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如下图所示，如果对分布函数、粒子质量及微观速度等的组合进行统计，则可得出宏观的密度、动量和能量。压力是粒子动量的体现，而温度被粒子动能表征，宏观速度则最直接，它是微观速度的期望——这些参数都可由移除微观速度依赖性的积分得出。 LBM表面上看还是离散的方程，却有连续的属性——因此它一定程度上也具有欧拉以及N-S方程求解器的特质，相比LGA更为贴近于传统理解的流体力学。

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对于被LBGK所代替的碰撞项，也具有丰富的内涵——人们虽然不再纠结于粒子之间的相互作用力与碰撞方式，而是把它简化为刚性碰撞，但即便是刚性碰撞，也需要复杂的积分才能完成，而LBGK完成了碰撞算子的线性化。另外， LBGK描述了原始碰撞的零阶物理过程，这也意味着，如果想使用LBM求解复杂本构关系的物质，只需要修改碰撞项即可。