如果有人问你:“三角形内角和等于多少?”你肯定会不假思索地告诉他:“180°!”
假如那个人说不是180°,那么你可能会认为他无知 。
其实,“三角形内角和等于180°”只是欧几里得几何学(Euclid Geometry)中的一个定理 。也就是说,在欧几里得几何学里,一个三角形的内角和等于 180°,但如果跳出欧几里得几何学的范围,一个三角形的内角和就不一定等于 180°!
举个栗子,地球的赤道、0 度经线和 90 度经线相交构成一个“三角形”,这个“三角形”的三个角都应该是 90°,它们的和就是 270°!
文章插图
你感到奇怪吗?你知道除了欧几里得几何(欧氏几何)学外,还有其他几何学吗?这些几何学称为非欧(欧几里得)几何学 。
欧式几何
想要探索非欧几何,先要了解欧式几何 。欧几里得几何指按照古希腊数学家欧几里得的《几何原本》构造的几何学 。有时单指平面上的几何,即平面几何 。数学老师课堂上教授的就是欧式几何 。它有以下几条简单的公理:
1、任意两个点可以通过一条直线连接 。
2、任意线段能无限延长成一条直线 。
3、给定任意线段,可以以其一个端点作为圆心,该线段作为半径作一个圆 。
4、所有直角都全等 。
5、若两条直线都与第三条直线相交,并且在同一边的内角之和小于两个直角和,则这两条直线在这一边必定相交 。
这五条“显然”的公理是平面几何的基石,我们也是仰仗这些公理干掉了一道道几何题目 。但机智的你有没有发现第五公设(平行公设)和前面的四个公设比较起来,文字叙述冗长,而且不那么显而易见,有违数学的简洁美感呢?
在《几何原本》中,证明前28个命题并没有用到这个公设,这很自然引起人们考虑:这条啰哩八嗦的公设是否可由其他的公理和公设推出,也就是说,平行公设可能是多余的 。
罗氏几何的诞生
因此,一些数学家提出,第五公设能不能不作为公设,而作为定理?能不能依靠前四个公设来证明第五公设?这就是几何发展史上最著名的,争论了长达2000多年的关于“平行线理论”的讨论 。
由于证明第五公设的问题始终得不到解决,人们逐渐怀疑证明的路子走得不对 。第五公设到底能不能被证明?
到了十八世纪,俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基( Lobachevsky)在证明第五公设的过程中走了另一条路 。罗巴切夫斯基的爸爸“老罗”也一生致力于研究第五公设的证明,但并没有什么成果,老罗曾告诫自己的儿子“小罗”:“你不要搞第五公理了,我都研究一辈子了,都没搞出来,这简直是数学家的噩梦 。”
【三角形内角和是多少度?三角形内角和一定是 180°吗?】然而小罗并没有听从老爸的建议 。他提出了一个和欧氏平行公理相矛盾的命题“过直线外一点,至少可以作两条直线和已知直线不相交”,用它来代替第五公设,然后与欧氏几何的前四个公设结合成一个公理系统,展开一系列的推理 。他认为如果这个系统为基础的推理中出现矛盾,就等于证明了第五公设 。我们知道,这其实就是数学中的反证法 。
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