【特征值为0说明什么,正交矩阵的特征值为什么是1或负1?】0特征值一定对应三个线性无关特征向量是对的 , 但是0特征值不一定是三重根 , 只能说至少三重 , 也可能四重 。
分类讨论:
1.在已知该矩阵可相似对角化的前提下 , 可断言0必为三重根 , 且对应三个无关特征向量;
2.倘若尚且未知该矩阵是否可对角化 , 则只可得知0为特征值 , 重数不小于三 , 且对应三个无关的特征向量;其他信息无法判定 , 需要先判断矩阵是否可对角化或先求出其特征值 , 再做判断 。
原因:你用特征多项式求的重数是代数重数 , 用维数减秩得到的是几何重数 。
几何重数≤代数重数 , 题目给的是几何重数 , 你想求的是代数重数 , 至于取小于号还是等于号 , 已知信息无法判定 , 看上面讨论 。具体此处不证 , 你可以自己找找反例 。
文章插图
正交矩阵的特征值为什么是1或负1?
设λ是正交矩阵A的特征值 , x是A的属于特征值λ的特征向量 。
即有Ax=λx , 且x≠0 ,
两边取转置 , 得x^TA^T=λx^T ,
所以x^TA^TAx=λ^2x^Tx 。
因为A是正交矩阵 , 所以A^TA=E ,
所以x^Tx=λ^2x^Tx 。
由x≠0知x^Tx是一个非零的数 。
故λ^2=1 ,
所以λ=1或-1 。
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