数列收敛是数列有界的什么条件,数列的有界性是数列收敛的什么条件?
证明数列收敛通常是落实到定义上或者证明数列的极限是固定值 。比如数列an=a0+1/n , 随着n增大 , lim(an)=a0 , 因此可证明数列{an}是收敛的 。数列收敛的定义:如果数列{Xn} , 如果存在常数a , 对于任意给定的正数q(无论多小) , 总存在正整数N , 使得n>N时 , 不等式|Xn-a|<q都成立 , 就称数列{Xn}收敛于a(极限为a) , 即数列{Xn}为收敛数列 。具体证明各种数列收敛的方法是高数至少半个学期的课程 , 不可能在这给一一列出来 。可参考微积分II的教材 , 非常详细 。有界性 , 定义:设有数列xn,若存在M>0,使得一切自然数n,恒有|Xn|<M成立 , 则称数列xn有界 。定理1:如果数列{Xn}收敛 , 那么该数列必定有界 。推论:无界数列必定发散;数列有界 , 不一定收敛;数列发散不一定无界 。数列有界是数列收敛的必要条件 , 但不是充分条件 。保号性 , 如果数列{Xn}收敛于a , 且a>0(或a<0) , 那么存在正整数N , 当n>N时 , 都有Xn>0(或Xn<0) 。
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数列的有界性是数列收敛的什么条件?
数列有界是数列收敛的必要而不充分条件 。
1、无界数列一定发散 , 所以有界是收敛的必要条件 , 但是有界数列不一定收敛 。显然是有界的 , 但也是发散的 。所以有界不是收敛的充分条件 。有界数列是指任一项的绝对值都小于等于某一整数的数列 。
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2、有界数列是指数列中的每一项均不超过一个固定的区间 , 其中分上界和下界 。若数列Xn满足:对一切n有Xn≤M 其中M是与n无关的常数称数列Xn上有界并称M是他的一个上界 , 对一切n有Xn≥m其中m是与n无关的常数称数列Xn下有界并称m是他的一个下界 。
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3、数列Xn如果存在常数a , 对于任意给定的正数q , 总存在正整数N , 使得n>N时 , 恒有|Xn-a|<q成立 , 就称数列Xn收敛于a , 即数列Xn为收敛数列 , 如果数列Xn收敛 , 每个收敛的数列只有一个极限 , 收敛数列与其子数列间的关系 。
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