无限深势阱的薛定谔方程怎么解？1月9日12时|无限深势阱的薛定谔方程怎么解？《张朝阳的物理课》初探薛定谔方程无限深势阱的薛定谔方程怎么

无限深势阱的薛定谔方程怎么解？1月9日12时，《张朝阳的物理课》第十九期开播。搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间，仔细分析了相速度与群速度的差别，阐明群速度才是传递能量与信息的速度。并利用分离变量法，得到定态薛定谔方程，又以无限深势阱问题为例，具体解出分立的能级和能量本征态波函数。最后引入并赋予傅立叶变换物理意义，再次探讨不确定性原理，一窥量子力学世界。
与往期直播逐步推导公式不同，一开场张朝阳直奔主题，在“直播白板”上写下薛定谔方程。 “它相当于微观世界的牛顿定律。 ”张朝阳说， “数学家要穷尽所有的可能性，但搞物理的人，会去猜几种特别的情况，所以今天我们来猜猜它的解。 ”他同时也提醒网友， “学习量子力学，需要掌握微积分、线性代数，傅立叶变换等基础知识。 ”这些知识也在讲课中尽数用到。
利用分离变量法求解得到定态薛定谔方程
张朝阳先是带着网友复习上节课讲到的波的速度的概念，探讨了相速度与群速度。随后，他开始通过分离变量法解薛定谔方程。方程里的波函数既含有对时间t的偏导，也有对位置x的偏导，采取分离变量法，将时间t与位置x分开，也就是假设波函数具有如下的形式：

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代入薛定谔方程中，便可将含有位置x的项与含有时间t的项，分开到等号两边，即：

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张朝阳介绍，由于这个式子对任意的位置x与时间t都成立，所以等号左边(或右边)是一个与位置x和时间t都无关的常数，我们假设这个常数为E ，则可将原来复杂的二元微分方程分解为两个一元微分方程：

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“这就大幅降低了解方程的难度。若再将其化简一下，即可得到定态薛定谔方程。 ”张朝阳边写边说。

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(张朝阳在“直播白板”上推导定态薛定谔方程)
探索无限深势阱得到分立的能级
为具体展现求解薛定谔方程的完整过程，张朝阳举了无限深势阱的例子。他介绍说，当位置x在0到a之间，势能U(x)为零，而其它地方势能无穷大，所以波函数在位置0到a区域之外都为零，而由于波函数又有连续的性质，所以波函数在x=0与x=a时也为零。于是，当x在0到a之间时，可写出其定态薛定谔方程：

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对应的边界条件为：

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这个微分方程是非常经典而容易解的，张朝阳解出这个一元微分方程，便得到能级E的表达式：

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与对应的能量本征态波函数：

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其中， n取正整数。

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(张朝阳在“直播白板”上解无限深势阱的能级)
“与经典理论的连续性有很大不同，可以看到能量E是分立的。 ”张朝阳总结。