数学方程的几个问题数学里面有许多对象和结构

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数学里面有许多对象和结构，我们想对它们做些什么。例如，给出了一个数，我们会按照上下文去把它加倍、求平方或者求倒数；给定了一个适当的函数，我们可能想去微分它；给定了一个几何图形，我们可能会想去作变换等等。
如果我们定义了一个数学程序，那么去发明执行这个程序的技巧就是一个很显然的数学计划。这就会引出关于这个程序的所谓的直接问题。然而，还有一类更深刻的所谓反问题，其形式如下。假设给出了程序，和执行程序所得到的答案，那么能不能搞清楚这个程序是作用在什么数学对象上的？举一个例子会非常清楚，假如我告诉你，有一个数，把它平方，结果是9 。你能不能告诉我这个数是什么？很简单，答案是3或者-3 。
如果想更加形式化地讨论这个问题，就会说，刚才是在研究方程x^2=9 ，而且发现它有两个解。这样的例子提出了三个一般问题：
一个方程是否有解？
如果有，是否恰好有一个解？
【数学方程的几个问题】这些解在什么样的集合之内？
前两个问题称为解的存在与唯一性问题。第三个问题在方程x^2=9的情况下没有太大的意义，但是在更复杂的情况下，例如对于偏微分方程，就可能是很重要的问题。
用更抽象的语言来说，设f是一个函数，面前就是这样一个命题，其形式是f（x）=y ，直接问题就是给定了x求y ，反问题则是给定了y求x ，这个反问题就叫做解方程式f（x）=y 。关于求解这种形式的方程式的问题与函数f的可逆性问题密切相关。因为x和y可能是比数一般得多的对象，解方程式的概念本身也就是非常一般的，因此也就是数学的中心问题之一。线性方程
小学生们最初遇见的方程典型地就是像2x＋3=17这样的方程。要解这样简单的方程，我们把x看成未知数，而未知数也得服从算术通常的法则。利用这些法则，就可以把这个方程化为简单得多的方程∶从方程两边减去3 ，就得到2x=14 ，再用2除这个新方程的两边，就得到x=7 。我们实际上证明了∶如果有某个数x ，使得2x＋3=17 ，那么这个数一定就是7 。我们还没有证明的是∶确实有这样的数x 。所以，严格地说，还应该有下一步，即验证2×7＋3=17 。这里，它显然是对的，但是对更加复杂的方程，相应的论断就不一定总是对的，所以最后这一步还是重要的。
方程2x＋3=17称为线性方程。这是因为作用在x上的函数（乘以2 ，然后再加3）是一个线性函数。正如刚才看到的，只含一个未知数的线性方程是容易解的，但是如果要解多于一个未知数的方程，情况就要复杂些了。考虑含有两个未知数的方程的典型例子，即方程3x＋2y=14 。这个方程有许多解，选定一个y以后，就可以令

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于是就有了一对（x ， g）满足这个方程。要想使问题更难一点，可以再加一个方程，例如5x＋3y=22 ，然后试着同时解出这两个方程。这时的结果又是只有一个（一组）解x=2以及y=4 。一般情况下，含两个未知数的两个线性方程恰好有一组解。如果从几何来看这个情况，这是很容易理解的。形如ax＋by=c的方程是xy平面上一条直线的方程。两条直线正常地交于一个点，例外情况是这两条直线相同，这时它们交于无穷多个点，或者它们平行，这时它们根本不相交。
如果有好几个含有几个未知数的方程，把它们看成含有一个未知的东西的一个方程，在观念上会简单一些。这听起来完全不可能，但是，如果允许这个未知的东西是一种更复杂的对象，却是完全可能的。例如3x＋2y=14和5x＋3y=22这两个方程可以写成单个含有矩阵和向量的方程