数学方程的几个问题( 五 ) 数学里面有许多对象和结构

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在绝大多数情况下，写出解的公式是没有希望的事情。一个著名的例子是三体问题∶给出空间里的三个运动的物体（质点），并设它们以引力互相吸引，问它们会怎样继续运动？用牛顿定律可以写出描述这一情况的微分方程。对于两个运动着的物体，牛顿解出了相应的方程，并由此解释了为什么行星绕太阳沿椭圆轨道运动，但是对于三个或更多的物体，这些微分方程被证明是非常难解的。现在已经知道了，这种难解的情况有很深刻的理由∶这时，这些微分方程会导致混沌性态。然而，这就打开了研究混沌和稳定性这些非常有趣的问题的大道。
有时候，有方法证明解是存在的，哪怕这些解不能容易地确定下来。这时，可以不要求得到精确的公式，而只希望得到一般的描述。例如，如果这个方程有着时间依赖性（例如热方程和波方程就都有），人们就会问，解是否随时间而衰减、爆破，或者大体上不变？这些更加定性的问题称为渐近性态问题，有一些技巧来回答这一类的某些问题，尽管没有显式公式把解给出来。
和丢番图方程的情况一样，偏微分方程包括非线性偏微分方程中有一些特殊而又重要的类，可以把解准确地写出来。这就给出了一种非常不同的研究风格∶人们又一次关注于解的性质，但是这一次是本性上更加代数化的性质，就是说，解的公式将要起更重要的作用。