物理学中的相变魔法，已被数学证明( 二 ) 撰文|AllisonWhitten翻译|Nuor审校

对称的对称性
共形不变性是由三种类型对称性合并成一种更广泛的对称性。对于一个物体，可以移动它（平移对称），将其旋转任意角度（旋转对称），或者改变它的尺寸（标度对称），这些操纵都不会改变它的角度。
法国高等科学研究所（IHES）和日内瓦大学的雨果·杜米尼尔·科平说：我愿称“共形不变性为统领一切的对称性” ，因为它是一种综合的对称性，比其他三种对称性要强。
共形不变性在物理模型中以一种更微妙的方式表现。在伊辛模型中，当体系的磁性仍然完好无损且相变尚未发生时，代表磁性方向的箭头大部分以一种团簇的方式指向一个方向，还有一部分以小的团簇形式指向另一个方向。但在临界温度下，原子们之间的相互影响的距离比以前更远。突然，原子的排列变得不稳定：大小不同，箭头指向上或者下的团簇同时出现，磁性即将消失。

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在临界点上，数学家们在很大的格点范围内观察这个模型，研究给定任意的一对箭头的相关性，即它们指向同一方向的可能性。在这些前提下，共形不变性指的是当平移、旋转或者缩放方格都不会破坏这些可能性。比如说：如果两个箭头有50%的几率指向同一方向，将共形不变性对应的三种对称作用到方格上，转换之后的方格上，占据同样位置的箭头也有50%的概率指向同一方向。
如果比对原始晶格和变换之后的晶格，将无法区分这两个晶格。重要的，相变之前的伊辛模型并不是这样的。如果将晶格上方角落的部分格点放大到与原始晶格相同的大小（相当于做一个标度变换），会增加一个指向的箭头的数量，从而可以清楚区别相变前后晶格的状态。
【物理学中的相变魔法，已被数学证明】共形不变性有着直接的物理意义：它表明即使你调整物质的微观细节，系统的整体行为也不会改变。它还暗示了某种数学上的优雅，在经历了相变这个小小插曲之后，整个系统打破了它的总体形式，变成了完全不同的其他东西。
第一批证明
2001年，斯米尔诺夫提出了物理模型中第一个严格的共形不变性数学证明。它适用的模型是逾渗模型，即液体通过错综复杂的多孔介质，即像石头一样的迷宫。
斯米尔诺夫研究了三角晶格上的逾渗，在三角晶格中，水只允许流过“开放”的顶点。最初，水流通过每个顶点的概率相同。当概率较低时，存在一个路径，可使水贯通整个石头的可能性很低。
但是当你慢慢增加概率时，就会出现一个点，在这个点上有足够多的顶点是开放的，可以创建跨越石头的第一条路径。斯米尔诺夫证明，在临界阈值处，三角晶格是共形不变的，这意味着在任何共形变换下，都会发生逾渗。

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这个过程简直可以称之为“魔法” ，在其他过程中是找不着这种魔法的。
——斯坦尼斯拉夫·斯米尔诺夫日内瓦大学

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五年后，在2006年的国际数学家大会上，斯米尔诺夫再次在伊辛模型中证明了共形不变性。结合他2001年在逾渗模型中的证明，他获得了数学界的最高荣誉——菲尔兹奖。
那之后的几年里，一些其他的证明也在陆续出现，但都只针对特定的模型，没有人的证明能说明波利亚科夫所设想的普适性。