几何、分形与时空：跨越百年的维度定义之旅( 三 ) 导语我们生活在三维空间和时

图5：中心球体随着维度的增加而变大，最终会突出到立方体外面。
高维空间中令人惊讶的现实导致统计和数据分析出现问题，统称为“维数灾难”（curseofdimensionality）。许多统计方法所需的样本点数量随维度增加呈指数增长。此外，随着维度增加，点形成聚类的概率会降低。因此，找到为高维数据降维的方法十分重要。
3.分形和非整数维度
维度的故事并没有因为布劳威尔而终结。仅仅几年之后，费利克斯·豪斯多夫（FelixHausdorff）提出了一个新的维度定义，之后的数学发展证明该定义对现代数学至关重要。
考虑维度的一种直观方式是，如果我们将d维物体均匀地缩放或放大k倍，它的大小会增加到kd倍。假设我们将一个点、一条线段、一个正方形和一个立方体放大3倍，点的尺寸不变（30=1），线段变成3倍（31=3），正方形变成9倍(32=9) ，立方体变成27倍(33=27) 。

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图6：当我们将d维对象放大k倍，其尺寸会增加到kd倍。
豪斯多夫定义的一个令人惊讶的结果是，物体可能具有非整数维度。几十年后，当伯努瓦·曼德尔布罗特（BenoitB.Mandelbrot）问道：“不列颠的海岸有多长？”时，结果证明非整数维度正是他所需要的。海岸线如此参差不齐，以至于无法用任何尺子精确测量——尺子越短，测量结果越大越精确。曼德尔布罗特认为，豪斯多夫维数提供了一种量化这种锯齿状海岸线的方法，并在1975年提出了术语“分形”来描述这种无限复杂的形状。

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图7：英国海岸线的测量长度取决于尺子的大小。
要了解非整数维度可能是什么样子，让我们考虑以迭代方式生成的科赫曲线（Kochcurve）。我们从线段开始。在每个阶段，我们删除每个线段的中间三分之一，并用与删除的线段长度相等的两个线段替换它，无限次地重复此过程以获得科赫曲线。仔细研究它，你会发现它包含4个与整个曲线相同但大小只有三分之一的部分。因此，如果我们将这条曲线缩放3倍，我们将获得原始曲线的4个副本。这意味着其豪斯多夫维数d满足3d=4 ，因此， d=log3(4)≈1.26 。科赫曲线并不像皮亚诺曲线那样完全充满空间，所以它不是二维的，但它也不是一条一维线，而是1.26维。

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图8：科赫曲线包含四个与整条曲线相同但尺寸为其三分之一的部分，其豪斯多夫维数不是整数， log3(4)≈1.26维
4.四维时空之外
最后，有些读者可能会想， “时间不是第四维吗？”事实上，正如威尔斯1895年的小说《时间机器》（TheTimeMachine）中的发明者所说：“时间与空间的三个维度中的任何一个都没有区别，只是我们的意识沿着它移动。 ”1919年，作为第四维的时间在公众的想象中爆发，日食让科学家们证实了爱因斯坦的广义相对论和闵可夫斯基（HermannMinkowski）的平坦四维时空的曲率。正如闵可夫斯基在1908年的一次演讲中所预言的那样， “此后独自的空间和独自的时间注定会消失在阴影中，只有空间和时间的某种结合才能保持独立的现实。 ”
今天，数学家和其他人的研究经常偏离我们所在的三个维度。有时研究会涉及额外的物理维度，例如弦论所要求的那些维度，但更多时候我们抽象地工作，并不设想实际空间。一些研究是几何的，例如玛丽娜·维亚佐夫斯卡（MarynaViazovska）在2016年发现了在8维和24维填充球体的最有效方法[3] 。在物理、生物学、工程、金融和图像等不同领域研究分形时，有时需要非整数维度。在这个“大数据”[4]时代，科学家、政府和企业建立了人、地点和事物的高维度档案。