几何、分形与时空：跨越百年的维度定义之旅( 二 ) 导语我们生活在三维空间和时

但在这段时间里，数学家们意识到，维度缺乏正式的定义实际上是一个问题。
乔治·康托尔(GeorgCantor)因发现无穷大有不同的势(cardinality）而闻名[2] 。起初，康托尔认为线段、正方形和立方体中的点集必须具有不同的势，就像一条10个点的线、一个10×10的点网格和一个10×10×10的点立方体有不同数量的点。然而，在1877年，他发现线段中的点与正方形（以及所有维度的立方体）中的点之间存在一一对应关系，这表明它们具有相同的势。凭借直觉，他证明了尽管维度不同，线、正方形和立方体都具有相同数量的无穷小的点。康托尔写信给理查德·戴德金（RichardDedekind）， “我看到了，但我不相信它。 ”
康托尔意识到这一发现威胁到n维空间需要n个坐标来描述的直觉观念，因为n维立方体中的每个点都可以由一段区间中的一个数字唯一标识。因此，从某种意义上说，这些高维立方体相当于一维线段。然而，正如戴德金指出的那样，康托尔的函数是极不连续的——它本质上是将一条线段分成无限多个部分，然后将它们重新组合成一个立方体。这不是我们所希望的坐标系的行为。这种坐标系太过无序，无法为我们描述物体提供帮助，就像是为曼哈顿的建筑物提供唯一地址却随机分配这些地址。
然后，在1890年，朱塞佩·皮亚诺(GiuseppePeano)发现，可以将一维曲线缠绕得如此紧密且连续，以至于可以填充二维正方形中的每个点。这是第一条空间填充曲线（space-fillingcurve）。但皮亚诺给出的例子也不是坐标系的良好基础，因为曲线与自身无限多次相交。回到对曼哈顿的比喻，这就像给一些建筑物多个地址。

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图4：这些是产生空间填充曲线的前五个步骤。
在每一步，曲线的面积为零，但在极限情况下，它填充了正方形。这条特殊的曲线是由大卫·希尔伯特（DavidHilbert）引入的。
这些和其他令人惊讶的例子清楚地表明，数学家需要证明维度是一个真实的概念。例如，当n≠m时， n维和m维欧几里得空间的某些基本性质是不同的。这个目标被称为“维度不变性”（invarianceofdimension）问题。
终于，在1912年，在康托尔的发现之后将近半个世纪，在人们多次证明维数不变性的尝试失败之后，布劳威尔（L.E.J.Brouwer）使用自己创造的一些方法并取得了成功。从本质上讲，他证明了不可能将一个更高维的物体放入较低维度的空间中，以及在不将物体分成许多部分（如康托尔所做的那样）、不允许物体与自身相交（如皮亚诺所做的那样）的情况下，使用较低维度的物体填满较高维度的空间。此外，大约在这个时候，布劳威尔等人给出了各种严格的定义，例如，可以根据球在n维空间中的边界是n-1维这一事实，帮助归纳地确定维数。
尽管布劳威尔的工作将维度概念置于强大的数学基础上，但它无助于增强我们对高维空间的直觉：对3维空间的熟悉太容易使我们误入歧途。正如托马斯·班乔夫(ThomasBanchoff)所写， “我们所有人都是对自己所在维度存有偏爱的奴隶。 ”
例如，假设我们将2n个半径为1的球体放置在边长为4的n维立方体中，然后将另一个球体放置在与它们中心相切的位置。随着n增加，中心球体的大小随之增加——它的半径为√n-1 。但是，令人震惊的是，当n≥10时，这个球体会伸出立方体的边。

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