几何、分形与时空：跨越百年的维度定义之旅导语我们生活在三维空间和时

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导语
我们生活在三维空间和时间编织而成的四维时空中，可是在精确的意义上，维度到底是什么？更高维度的时空意味着什么？不同维度之间是否存在难以突破的壁垒，还是有着深刻联系？非整数维度是什么样子？
研究领域：维度，分形，四维时空，高维数据维度的概念乍一看似乎很直观。瞥一眼窗外，我们可能会看到落在纤细的旗杆上体验零维空间的乌鸦，被限制在一维电话线上的知更鸟，在二维地面上自由移动的鸽子，还有翱翔在三维空间的老鹰。
但是对于数学家来说，为维度的概念找到一个明确定义实则异常困难。我们经过数百年的思想实验和富有想象力的比较，才得出目前对维度概念的严格理解。
1.超越三维
古人知道我们生活在三个维度中。亚里士多德[1]写道：“向一个方向延伸的是直线，两个方向延伸的是平面，三个方向延伸的是物体。除此之外就没有其他了，这些就是所有的维度。 ”
然而相比于其他人，数学家更热衷于想象更多维度的思维训练：垂直于已知的三个维度的第四维度会是什么样子？
一种流行的方法：假设我们的可知宇宙是三维空间中的二维平面。一个在平面上方的实心球对我们来说是看不见的。但是如果它坠落并接触到平面，就会出现一个点。当它继续穿过平面时，圆盘会不断变大，直到达到其最大尺寸，然后缩小并消失。正是通过这些横截面，我们才能看到三维物体的形状。

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图1：在平面上只能看到三维物体的横截面。 |来源：SamuelVelasco/QuantaMagazine
类似地，在我们熟悉的三维宇宙中，如果一个四维球穿过它，这个四维球会以一个点的形式出现，之后成为一个实心球，最终达到完整半径的球，然后半径减小并消失。这给了我们关于四维形状的感知，但是对于这样的物体，还有其他思考方式。
例如，让我们尝试通过构建超立方体来可视化立方体的四维等价物。如果我们从一个点开始，可以在一个方向上拖动它以获得一条线段。之后，当我们垂直于拖动方向移动线段时，得到一个正方形。在第三个垂直方向拖动这个正方形会产生一个立方体。同样，我们通过在第四个方向上拖动立方体来获得超立方体。

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图2：通过将蓝色位置的图形拖动到紫色位置，我们可以可视化各种维度的图形，包括超立方体。
或者，就像我们可以将立方体的面展开为六个正方形一样，我们可以展开超立方体的三维边界以获得八个立方体，正如萨尔瓦多·达利(SalvadorDalí)在1954年的画作《受难》(Crucifixion ， CorpusHypercubus)中所展示的那样。

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图3：我们通过展开正方体得到的面来想象一个立方体。我们可以通过展开超立方体得到的立方体来想象超立方体
所有这一切构成了对维度的直观理解，即如果一个抽象空间有n个自由度（就像那些鸟一样），或者需要n个坐标来描述一个点的位置，该空间就是n维的。然而，数学家发现维度比这些简单的描述要复杂。
2.定义维度
人们对更高维度的正式研究出现在19世纪，相关研究在几十年内变得相当复杂：1911年的参考书目包含1832条对n维几何的引用。也许因此，在19世纪末和20世纪初，公众开始迷恋第四维度。 1884年，埃德温·阿博特(EdwinAbbott)创作了流行的讽刺小说《平面国》（Flatland），小说以二维生物遇到三维生物作为类比，帮助读者理解第四维度。 1909年《科学美国人》征文比赛题为“什么是第四维？” ，有245份参赛作品争夺500美元的奖金。许多艺术家，如巴勃罗·毕加索（PabloPicasso）和马塞尔·杜尚（MarcelDuchamp），将第四维的想法融入到作品中。