确界原理 _实数

文章插图
确界原理是刻画实数完备性的命题之一。设非空数集S有上界，若存在实数β满足以下两个条件：
1、有，（即β是S的一个上界）
2、有，（即再小一点就不是上界）
则称实数β为S的上确界，记为
同理，若存在实数α满足以下两个条件：
1、有，（即α是S的一个下界）
2、有，（即再大一点就不是下界）
则称实数α为S的下确界，记为。
有时上确界也被叫做最小上界，下确界也被叫做最大下界。
注意：S的上确界（或下确界）可能属于S，也可能不属于S 。当上确界（或下确界）属于S时，不难证明上确界（或下确界）就是S中的最大数（或最小数）。
确界原理（ supremum and infimum principle ）是刻画实数完备性的命题之一。
确界原理：任一有上界的非空实数集必有上确界（最小上界）；同样任一有下界的非空实数集必有下确界（最大下界）。
实数的这个性质是波尔查诺(Bolzano,B.)于1817年发现的。
若把+∞和-∞补充到数集当中，并规定任意一实数a与+∞，-∞的关系为-∞<a<+∞,则确界的概念可扩充为：若数集S无上界，则规定+∞为S的非正常上确界，记做sup S=+∞；若S无下界，则定义-∞为S的非正常下确界，记做inf S=-∞，相应的，若S有上确界或者下确界，则此定义分别成为正常上确界和正常下确界。
【确界原理】即：任意一非空数集必有上确界和下确界（包括正常的和非正常的）
确界原理作为整个极限理论的基础，并且由于它直观易懂，经常代替戴德金定理作为实数公理，从而导出一系列与极限相关的性质，如单调有界定理，柯西审敛原理等。
1、上确界的定义：首先上确界一定是一个上界，在上界的基础上进一步缩小，直到不是上界为止，这个临界点就是上确界，也就是说上确界是一个最小上界。
2、下确界的定义：同理可得下确界是E的一个最大下界，只要这个下确界稍微一大点，就不是下界了。集合中就可以找到一个元素小于它。由此引出一个十分重要的定理：确界原理，这是实数连续性的一种表现形式。