氢原子的波函数与能级如何求解？《张朝阳的物理课》详解各元素 6月10日

6月10日，《张朝阳的物理课》线下第五课开讲，搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳将氢原子薛定谔方程分解为质心运动部分与相对运动部分来求解，其中相对运动部分的波函数又可进一步分为径向波函数与角向波函数，通过逐步分离变量最终解得氢原子薛定谔方程，得到氢原子波函数以及量子化的能级，进而引出电子轨道概念并求得轨道半径。
本节课还研究了氦、锂等原子中电子间的排斥力和对核电荷的屏蔽作用，将氢原子问题扩展到多电子原子体系。最后通过一些例子，展现了从原子构成世间万物的过程，从而显示出核外电子排布在决定物质性质方面所起到的重要作用。
在本次线下课中，张朝阳先利用分离变量法，将氢原子薛定谔方程的时间部分与空间部分分开，得到氢原子的定态薛定谔方程，通过选取质心坐标与质心动量为新变量，将定态薛定谔方程化为质心运动部分与相对运动部分。
相对运动部分是关于氢原子内部结构的方程，转换到直角坐标系后，可以利用角动量算符平方的本征方程将相对运动方程的径向与角向分离。进一步利用角动量算符z分量的本征方程，还能将角向部分的变量φ与θ分离求解，由波函数的物理性质得到分立的磁量子数以及分立的角动量，并求得角向波函数。
至于径向运动方程，则需先分析解的渐近行为，把渐近部分分离出来后得到了一个适合幂级数解法的方程，代入幂级数的形式解，得到幂级数系数的递推关系，最终求得氢原子的能量量子化条件，并给出了能级公式，同时给出了径向波函数。
完成氢原子薛定谔方程的求解后，张朝阳计算了能级的简并度并介绍电子轨道的概念，通过电子波函数导出轨道的最概然半径。随后，张朝阳开始分析其它元素的核外电子排布，由于电子之间的排斥力，直接求解多电子体系的薛定谔方程是极其困难的，但电子的影响可化为哈密顿量中的有效势，可以知道电子轨道仍有类似氢原子的形式，但由于电子对正电荷的屏蔽作用，会导此时的电子轨道以及其能级相比氢原子发生了变形。
为了展示这种变形如何产生，他先利用变分法分析了氦原子同一壳层的两电子屏蔽作用，求出了其轨道半径，随后进一步分析了锂原子的最外层电子受到内层电子的屏蔽作用，这样就知道了同一壳层与不同壳层的电子屏蔽机制，更多元素的核外电子排布可以类比上述分析求得。最后张朝阳还讲解了硼钢强度硬的原因，借此说明地球上万物本质上可以通过它们的微观结构以及原子核外电子的排布来理解。
【氢原子的波函数与能级如何求解？《张朝阳的物理课》详解各元素】截至目前，《张朝阳的物理课》已直播六十余期，从去年11月开启第一节物理直播课，他先是从经典物理学开始，科普了牛顿运动定律等；而后从经典物理的“两朵乌云”说起，向近现代物理过渡，探讨了黑体辐射理论中的维恩公式、普朗克公式等知识。此后逐步进入量子力学领域，从基础的薛定谔方程等理论内容，到氢原子波函数，再到气体定容比热的温度阶梯等更加具体实用的案例。