数学|他26岁发表论文18篇刚把上世纪的素数猜想给证明了( 二 ) 论文|天才|他26岁发表论文18篇

然后将剩余的数字组成一个新集合。
举个具体例子。
假如原始集为{2, 3, 5}，那么2的最大质因数是2，3的最大质因数是3，5的最大质因数是5 。
所有2的倍数全部合格，因为它们都是2的公倍数，没有超过2的质因数2；
所有3的倍数中，只要是素数2的公倍数（因为没有超过质因数3），都要被扔掉，也就是6、12、18都不合格；
所有5的倍数中，只要是素数2和3的公倍数(因为没有超过质因数5)，也要被pass，因此10、15、20、30不合格；
再比如55的倍数中，只要是素数2、3、5、7的公倍数，也要被pass，因为55的最大质因数为11 。

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△ 图源Quanta Magazine
牛津小哥将这种方法比作字典的索引方式，只不过字典是按字母，这是按素数来组织每个序列。
得到新的集合后，他和导师又开始算这些倍数序列的“密度” 。就拿所有偶数来说，它的序列“密度”就是为1/2，因为所有偶数占所有整数的一半。
然后啊，他们就观察到，如果给定的一个集合是原始集，那么所有倍数序列就不会重叠（overlap），因为他们的组合“密度”最多为1 。
（为什么为1，因为整数的序列“密度”就是1 。）
有了“密度”，就可以算集合的“Erd?s和”了，根据弗兰兹·梅尔滕斯提出的定理，一个大约等于1.78的特殊常数乘以集合倍数的组合“密度”，就可以得出原始集的最大“Erd?s和” 。
由于小哥和导师证明集合的“密度”最大为1，也就从侧面证明了“Erd?s和”的最大值为1.78 。
小哥在牛津大学的导师对此赞赏有加，称小哥和原导师的方法其实是Paul Erd?s最初方法的一种变体，但它更巧妙，得到了一个“not-tight”和“not-too-bad”的上界。
与此同时，大家认为他们的这个方法似乎已经是目前最顶尖的数学家才可以做到的。
再证明1.64
好，成功了一小步，接下来如何才能把范围缩小，证明Erd?s给出的1.64呢？
小哥发现，他和前导师的那一套理论对于质因数较小的数字组成的原始集是有效的，可以比较轻松地就证明出来甚至比1.64还小的常数。
不过质因数大了就不太行。
左思右想，转眼到了博士三年级，他发现可以给集合中的每个数字关联不止一个倍数序列。
但和之前一样，所有这些序列的组合密度最多为1 。
比如对于618这个数字（2 x 3 × 103）来说，按照以前的方法不可以出现比103倍还小的倍数，但现在可以用比103倍还小的倍数组成序列，比如5倍。
（至于5倍还是几倍，这都是有一套约束规则决定的。）
接着他又找到了一种更准确地算出这些序列的组合“密度”的方法。
最终，他仔细考虑了原始集的各种情况，在具有最大质因数和最小质因的数字之间找到了一个平衡，将2018年和现在的两部分证明拼凑在一起，最终证明了“Erd?s和”小于1.64 。
前后一共花了四年的小哥表示，得出这个结果不知道是运气好碰上了还是啥，总之做到了。
详细证明过程已经被他写成了论文发在了arXiv 。

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粗略一番……几乎是三行一个公式的情况。感兴趣的数学大佬可以去看看。
有数学家指出，牛津小哥这个证明结果真的太引人注目了，因为他的方法非常聪明，完全依赖于已有论点就做到了。

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