空间向量平行公式即共线公式 _cos

空间向量平行公式即共线公式
两个空间向量a,b向量(b向量不等于0），a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb
空间向量平行公式证明
1充分性：对于向量 a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使 b=λa，那么由实数与向量的积的定义知，向量a与b共线。
2必要性：已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的m倍，即 ∣b∣=m∣a∣ 。那么当向量a与b同方向时，令 λ=m，有 b =λa，当向量a与b反方向时，令 λ=-m，有 b=λa 。如果b=0，那么λ=0 。
共线公式的推论
1两个向量a、b共线的充要条件是：存在不全为零的实数λ、μ，使得 λa+μb=0 。
2两个非零向量a、b共线的充要条件是：存在全不为零的实数λ、μ，使得 λa+μb=0 。
3如果a、b是两个不共线的向量，且存在一对实数λ、μ，使得 λa+μb=0，那么λ=μ=0 。
4如果三点P、A、B不共线，那么点C在直线AB上的充要条件是：存在唯一实数λ，使得向量PC=(1-λ)向量PA+λ向量PB 。（其中，向量AC=λ向量AB）。
5如果三点P、A、B不共线，那么点C在直线AB上的充要条件是：存在不全为零的实数λ、μ、ν，使得λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0 。

文章插图
扩展
向量平行公式的定义
1对于两个向量a(向量a≠向量0)，向量b，当有一个实数λ，使向量b=λ向量a(记住向量是有方向的)则向量a‖向量b 。反之，当向量a‖向量b时，有且只有一个实数λ，能使向量b=λ向量a;
2当向量a=(x1,y1)，向量b=(x2,y2)时，当x1y2=x2y1时，向量a‖向量b，反之也成立。
“在数学中，向量(也称为欧几里得向量、几何向量、矢量)，指具有大小(magnitude)和方向的量。…若a=(x,y)，b=(m,n)，则a//b→a×b=xn-ym=0”
平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行(或共线)向量.向量a、b平行(共线)，记作a∥b 。零向量长度为零，是起点与终点重合的向量，其方向不确定。我们规定：零向量与任一向量平行。平行于同一直线的一组向量是共线向量。
若a=(x,y)，b=(m,n)，则a//b→a×b=xn-ym=0
共线定理：若b≠0，则a//b的充要条件是存在唯一实数λ，使向量a=λ向量b 。若设a=(x1,y1)，b=(x2,y2) ，则有 x1y2=x2y1 ，与平行概念相同。0向量平行于任何向量。
数与向量的乘法满足下面的运算律
结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb) 。
向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.
数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.
数乘向量的消去律
① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b 。
② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ 。
向量的数量积的运算律
a·b=b·a（交换律）
(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)
（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）
向量的数量积的性质
a·a=|a|的平方。
a⊥b〈=〉a·b=0 。
|a·b|≤|a|·|b| 。（该公式证明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因为0≤|cosα|≤1，所以|a·b|≤|a|·|b|）
向量的向量积运算律
a×b=-b×a
(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb)
a×(b+c)=a×b+a×c.
(a+b)×c=a×c+b×c.
【空间向量平行公式即共线公式】