转动系，想说懂你不容易( 二 ) 我们知道

有人可能会问了，直接从情形5出发，会不会太难呢？其实，大可不必担心哈，因为这个难不过是推导时写的字母较多，思考的要点却是清晰和明确的。之所以从情形5开始，是因为它能直接呈现那些我们最容易忽略的推导细节，更利于我们对转动问题建立完整的认识。
磨刀不误砍柴工。在正式讨论之前，我们有必要先做两个准备：一是讨论无限小转动，二是讨论矢量在不同参考系下的表示与求导。
其实，名为准备，实为推导中的关键细节，把这两个准备弄清楚了，转动系下的动力学表示便迎刃而解。
关键准备-无限小转动
为什么要讨论无限小转动？
请大家先思考一个问题，我们是怎么定义瞬时速度的？
我们是这么做的：先定义了平均速度，然后将平均速度在时间时的极限定义为瞬时速度。在这顿操作中，我们其实并不关心有限的时间，而是希望这个越小越好。
我们要讨论转动系问题，描述转动快慢的物理量是角速度。那么，我们又是怎么认识角速度的呢？
在中学学习圆周运动时，角速度的定义式为，到了大学我们又了解到，为描述旋转的方向，需要用右手螺旋定则给加个方向，把变成矢量。在讨论匀速定轴转动时，这其实没什么大问题。因为匀速定轴转动中，瞬时角速度始终与平均角速度相等，使得我们并不需要关心角速度的大小和指向的变化，也就不涉及角速度的瞬时性。
然而，当涉及转动系的定点转动时，对角速度的这点认识是不够的。由于角速度的大小或指向均可变化，我们不得不去关心角速度的瞬时性。因此，也就有必要区分有限转动和无限小转动。只有在讨论无限小转动时，才能给出角速度的精确定义，从而赋予它严格的矢量性。
另一方面，线速度和角速度的关系是讨论转动问题的一个重要内容，我们也需要把他由定轴转动推广到更一般的空间转动中去。这也只能通过对无限小转动的讨论来实现。
关于有限转动和无限小转动，其实有个矢量对易律的知识点，蛮有意思。为避免冲淡主题，暂且不表，感兴趣的朋友可阅读周衍柏第三版《理论力学教程》118页的论述。
如图所示，在参考系中建立直角坐标系；在参考系中，建立直角坐标系。令参考系为惯性系，让参考系相对系以角速度转动，瞬时转轴为轴，令轴与轴重合。

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接下来，我们借用刚体力学的思路，讨论转动系的无限小转动。
在极短时间内，令转动系相对惯性系发生一微小的转动。为描述这一微小转动，我们定义粗体为角位移，它将同时干两件事：一是利用其数值描述转动的角度大小，二是利用其指向描述转动时转轴的指向（即方向，用右手螺旋定则判断旋转方向）。
在转动系中任选一固定点，转动前其相对惯性系的位矢为。当转动系相对惯性系发生一微小的转动时，点将相对惯性系同步发生一段微小位移，要注意的是，由于是无限小量，那么也是无限小量，此时必与和构成的平面垂直。且有以下关系成立
用叉乘表达即有
对上式两边分别除以并取极限有
等式左边恰好就是线速度的定义式，类似的，我们把等号右端的第一部分定义为瞬时角速度，即
因此，式可被改写为
至此，讨论无限小转动给我们带来了两个成果：
一是精确定义了角速度。这里的不仅可以发生数值变化，也可以发生指向的变化。因此它不仅适用于定轴转动，更适用于一般的空间转动。