什么是整数关于整数的介绍,一个数的因数至少有几个？ _生活知识

正常数就是正的常数，常数中的正数常数。

1、规定的数量与数字。

2、一定的重复规律。

3、一定之数或通常之数。

4、一定的次序。

5、数学名词。

常数，数学名词，指规定的数量与数字，如圆的周长和直径的比π﹑铁的膨胀系数为0.000012等。常数是具有一定含义的名称，用于代替数字或字符串，其值从不改变。数学上常用大写的"C"来表示某一个常数。而且，它一般都分类于超越数(比如π、Σ10^-j!)、无理数(比如e、φ)、不可计算数(比如√2、ΩU)、可计算数(比如δ、γ)这四种分类。

文章插图
一个数的因数至少有几个？
先明确定义：将整数集记为 Z，对于任意整数 a, b ∈ Z (b ≠ 0)，如果存在整数 c ∈ Z使得 a = bc，则称 b 整除 a，记为 b | a，并且称 b 是 a 的因数（也叫做约数或除数），a 是 b 的倍数。
于是，对于任何一个整数 a ∈Z (a ≠ 0)，显然有 a · 1 = a，(-a) · (-1) = a，我们称 ±a 和 ±1 为 a 的显然因数。
故，在整数范围内考虑，一个非零整数 a（≠ ±1）的因数至少有 4 个，即，a 的显然因数：a 、1、 -1 和 -a，而 ±1 只有两个因数 1 和 -1 。
进而，在正整数范围内考虑，一个正整数 a（≠ 1）的因数至少有 2 个，即，a 和 1，而 1 时只有它自己 1个因数。
那么，一个正整数的正因数具体有几个呢？
为了回答这个问题，我们需要引入素数的定义：对于任意整数 p ∈Z (p ≠ 0, ±1)，如果 p 除了显然因数外没有其它因数，则称 p 为素数（也称质数或不可约数），否则称 p 为合数（也称可约数）。
由于整数集 Z 关于 0 是对称的，因此我们只需要研究清楚正整数集 Z?，负整数集 Z? 就自然清楚了。于是：以后素数和合数默认特指大于 1 的正整数。
在《初等数论》中有一个非常重要的定理，称为算术基本定理：对于任意正整数 n ∈ Z?(a > 1) ，必然有，
n = p?p?...p?
其中 p?( i = 1, 2, ..., r) 皆为素数，并且在便考虑顺序的情况下，这个素因数分解式唯一。例如：
【什么是整数关于整数的介绍,一个数的因数至少有几个？】108 = 2 · 2 · 3 · 3 · 3
显然，素因数会有重复，于是我们将上面的素因数分解式改写为：
n = p??1p??2...p???，(p?< p? <... <p?) ⑴
称为 a 的标准素因数分解式。例如：
108 = 22 · 33
任意给定一个正整数 n(> 1) ，n 的正因数个数，记为 τ(n)，称τ(n) 为除数函数。
考虑 n 的标准素因数分解式 ⑴ ，可分为下面的组：
1, p?, p?2, ...,p??1(共 a? + 1 个）
1, p?, p?2, ...,p??2(共 a? + 1 个）
...
1, p?, p?2, ...,p???(共 a? + 1 个）
显然，n 的每个因数，就是从上面每组里任意选择一个数，然后将它们连乘的结果，所有肯能结果的个数是：
(a? + 1)(a? + 1)...(a? + 1)
这就是 τ(n)，即，
τ(n) =(a? + 1)(a? + 1)...(a? + 1) = ∏???? a? + 1
例如：
τ(108)= (2 + 1) · (3 + 1) = 12
又引入定义：对于任意正整数 n, m ∈ Z?，若存在正整数 a ∈ Z? 满足 a | n 并且 a | m 则称 a 是 n 和 m 的公因数（也称公约数），将 n 和 m 的所有公因数中最大的那个称为最大公因数，记为 (n, m) 或 gcd(n,m) 。
如果 (n, m) = 1，则称 n 和 m 互素（或互质）。例如：
108 和 49 互素：49 = 72，(108, 49) = 1
108 和 9 不互素：9 = 32，(108, 9) = 9
进一步观察我发现性质：当 n 和 m 互素，即，(n, m) = 1 时，有 τ(nm) = τ(n)τ(m) 。
例如：
108 · 49 = 22 · 33 · 72

τ(108 · 49) = (2 + 1)(3 + 1)(2 + 1) = 36
τ(49) = (2 + 1) = 3
τ(108 · 49) = 36 = 12 · 3 =τ(108) · τ(49)
而当 (n, m) ≠ 1 时，上面的性质不成立，例如：
108 · 9 = 22 · 3?
τ(108 · 9) = (2 + 1)(5 + 1) = 18
τ(9) = (2 + 1) = 3
τ(108 · 9) = 18 ≠ 36 = 12 · 3 = τ(108) · τ(9)
定义：如果数论函数 f 满足，
f(nm) = f(n)f(m)，(n, m) = 1
则称 f 是积性函数。
注：积性函数是最重要的数论函数，在 Mobius 变换中起到重要作用，以后有机会给大家介绍。
τ(n) 显然就是积性函数。
顺便：在初等数论中，还定义了除数和函数 σ(n)，它的值为正整数 n(>1) 的所有正因数之和，根据上面的经验知下面的展开式的项，包含 n 的所有正因数：
(1 + p? + p?2 + ... + p??1)(1 + p? + p?2 + ... +p??2) ... (1 + p? + p?2 + ... +p???)
因此，
σ(n) = (1 + p? + p?2 + ... + p??1)(1 + p? + p?2 + ... +p??2) ... (1 + p? + p?2 + ... +p???)
= ((p??1?1- 1) / (p? - 1))((p??2?1- 1) / (p? - 1))...((p????1- 1) / (p? - 1))
=∏???? (p????1- 1) / (p? - 1)
如果是在有理数域 Q 上考虑题主的问题呢？
对于有理数集 Q 中任意一个非零的数 x(≠0) 必然存在 x 的倒数x?1 = 1，因此对于任意有理数 y ∈ Q，y ≠ 0，必然有：
y = yx?1· x
根据上面因数的定义非零的 x 是任何非零 y 的因数。
故，在有理数范围内考虑，一个非零有理数 x 的因数必然有 |Q{0}| = ?? 个。
注： AB 是差集运算，即，从集合 A 中除去集合 B 中包含的元素。
对于实数域 R 和复数域 C 和有理数域 Q 类似，于是有：
在实数或复数范围内考虑，一个非零实数 x 或非零复数 z 的因数必然有 |R{0}| = ?? 或|C{0}| = ?? 个。
注: |A| 表示集合A 中的元素个数。对于无限集合，我们用 ??, ??, ... 来区别表示它们的元素个数，其中只有 ?? 是可列的。
最后，考虑一下 0 的因数。
根据因数定义，0 不是任何数的因数，而又因为任何数 x乘以 0 都是 0，即，
0 = x · 0
所以，任何非零数 x 都是 0 的因子。
故，分别在整数、有理数、实数、复数范围内，0 的因子数分别是|Z{0}| = ?? 、 |Q{0}| = ??、 |R{0}| = ?? 、|C{0}| = ?? 个。

（由于本人水平有限，以上回答题主和大家仅供参考，另外，也欢迎各位老师批评指正。）