李政道与统计力学( 三 ) 撰文|欧阳钟灿（中国科学院理

在同年发表的第二篇文章(图4)中，李、杨给出了上述抽象分析的一个实例。

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图4李政道1952年发表的第二篇文章
为了解释气-液相变，他们提出了格气模型，将其等价映射到带有外场的伊辛模型。伊辛模型是统计力学中最常用的、也是少数有精确解的模型之一，昂萨格曾在1944年用转移矩阵方法给出了二维伊辛模型配分函数的精确解，严格讨论了该模型的相变，是统计力学史上的一座丰碑。李、杨在文章中则利用配分函数零点分布的方法来讨论伊辛模型的相变。对于一般体系，配分函数的严格计算几乎是不可能的任务，更遑论计算其零点分布。出人意料的是，对于伊辛模型（维数不限），在相当宽泛的相互作用势条件下，李、杨能够用严格的数学方法证明其巨配分函数的零点都分布在y-复平面的单位圆上，由此出发可对相图的性质进行推演（例如，只可能存在单一相变点）。这个惊人的漂亮结果即是统计力学中著名的“李-杨单位圆定理” 。李、杨的工作发表后，立即引起了物理学界的高度关注与认可。据李先生回忆，爱因斯坦曾对此表现出浓厚兴趣，约李、杨两人详细讨论这一工作，并对他们的成功表示祝贺。
李-杨零点理论构思新奇、简洁有力，开启了“严格统计力学”这一新方向，吸引了大批数学物理学家投身统计力学基础问题的严格数学分析。这项里程碑式的工作已成为很多经典教材介绍相变的标准内容，同时也不断激发新的研究课题，对后世统计力学研究产生了深远影响。截至2021年，第一篇论文已被引用2300余次，近两年就被引用了40余次；第二篇论文被引用2700余次，近两年被引近70次。考虑到统计力学基础理论是物理学中一个很小的研究领域，这样的引用率和引用周期足以证明李-杨理论的重要性和生命力。值得一提的是，随着近年来实验技术的发展，李-杨零点开始从纯概念变成可观测的对象，例如，伊辛模型配分函数可等价映射到自旋相干动力学，通过测量后者来获得零点的信息。我们相信，李-杨理论的普适性和深刻性还将继续激发更多前沿研究乃至跨领域研究。
除上述李-杨理论之外，李、杨在多体系统量子统计力学方面也作出了杰出工作。在1957、1958年发表的系列文章中，李、杨等人最早对硬球玻色气体在零温附近的行为进行了详细的计算分析。使用赝势方法，他们给出了化学势、能量密度、声速等物理量的头几阶量子修正，预言了一个与玻色-爱因斯坦凝聚相对应的平衡态相变。这些工作已经成为冷原子气体以及超流研究中的经典，其中的分析方法和结论至今仍被引用和讨论。
李、杨的另一系列经典工作也与迈耶等人的工作有关。根据统计力学原理，对于无相互作用的系统（无论经典的还是量子的），不难计算其配分函数及各种热力学量。一旦考虑粒子间的相互作用，则往往遇到极大的数学困难。对于弱相互作用体系（例如低密度气体），迈耶等人（1937年）对经典气体发展了行之有效的微扰计算方案（即集团展开方法），稍后库恩、乌伦贝克（1938年）等人尝试将该方法推广到量子气体，但由于低温量子体系必须考虑粒子全同性，再加上粒子之间的相互作用，计算异常困难。李、杨在1959~1960年的系列文章中对此问题提出了一种新的计算思路，将全同性带来的统计效应与粒子间物理相互作用分离开来、分别处理，从而使得集团展开方法原则上也能应用于量子系统。尽管从真实体系实际计算的效果上看，李-杨方法不如后人发展的其他方法（例如二次量子化）实用，但这项工作仍具有极高的参考价值，不仅至今仍被研究文献引用，在很多经典教材中也被列为重要的历史文献加以介绍。