端着咖啡走路是一项鲜为人知的物理学壮举( 二 ) 如何将一杯咖啡从咖啡机端到

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《妈妈，洗脚》的广告中，小宝贝端的水洒了出去。丨来源：腾讯视频
正如前面钟摆所依靠的“第三方复杂系统” ，端咖啡的人在咖啡与杯子之间也充当了这样一个角色。此时，我们需要将杯子、咖啡和手的模型进行更加详尽的刻画。如果将杯子里调皮的咖啡看成一个滚动的小球（如下图（a）所示），那么进一步在物理上，杯子与咖啡便可以抽象为“手推车”与“摆”的模型——这是因为，杯子里小球总是贴着杯壁，其与杯壁圆弧所对应的圆心距离始终保持不变，相当于有一个不可伸长的绳子将其限制住（如下图（b）所示）。我们可以将这个组合简称为“车-摆”模型。

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端咖啡的概念模型与物理模型示意图丨来源：文献[1]
简单来说，面对“想法不一致”的咖啡和杯子，人类的策略就是让它们【同步】。
同步又分为两种。一种是比较“激烈”的【反相同步】。当咖啡向右，趁其还未溢出时赶紧把杯子往左移；咖啡向左，就赶紧把杯子往右移。这样，让咖啡不停的在杯子里来回震荡，只要你晃得够快，咖啡就会被杯壁挡回来。这便是“高频”的反相同步策略——咖啡震荡的相位和咖啡杯移动的相位总是相反。
对墙击球时，手与球之间就是反相同步。手和墙=咖啡杯壁，球=咖啡丨来源：bilibili@东南排球训练营
相反的，另一种【同相同步】则更加温柔。当咖啡要向右了，就让杯子追随咖啡的步伐，也向右移动——毕竟咖啡不会无限的向右移动（因为咖啡同时也向上移动，动能转换为势能而使速度降低），杯子移到一定的位置时咖啡也就停止向右的躁动了；当咖啡开始向左，故伎重演，让杯子追上其向左的步伐便是，不必惊扰咖啡。在这种情况下，杯子移动的没有那么快，而移动的方向却与咖啡始终保持一致，所以是“低频”的同相同步策略。
汤姆端盘子时，身体和盘子就是同相同步。汤姆=咖啡杯，盘子=咖啡丨来源：youku@核桃话综艺
反相高频和同相低频，还可以借助摆长与频率的关系进一步理解。在“车-摆”模型中，反相与同相分别如下图（a）和（b）所示。由于车一直在移动，两种同步运动的等效摆长不同。反相同步的等效摆长明显小于同相同步的等效摆长，由上一节的频率与摆长关系可知，摆长越短，周期越小，频率越高。因此反相同步为高频、同相同步为低频。

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两种同步运动的等效摆长示意图
实际上，聪明的人类很有可能在不自知的情况下，熟练的在两种同步模式之间无缝切换——仅凭观察力和直觉，便能在端咖啡挑战中随机应变。但是，如果要设计端咖啡的机器人，我们改如何赋予它这个看起来理所应当的技能呢？
针对端咖啡的两种同步策略进行建模计算，研究者发现，同相与反相同步之间还存在一个【过渡区域】。这种过渡区域是由动力学系统的非线性所导致的。如果机器人被设计成以相对较小的步幅行走，将对应一个较小的周期外力，这时候动力学方程可以近似为线性，两种同步运动间不存在过渡区域，因此行走的频率可以是任意的；当机器人被设计成以较大的步幅行走时，对应较大的周期外力，这时候，在同相同步与反相同步之间存在一个不同步的过渡区，则行走的频率应该尽量避开这个过渡区的频率，以免咖啡与杯子发生不同步。