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老黄学高数系列视频第210讲是关于画函数图像的一般步骤的内容 。 为了巩固这个知识 , 老黄对各类函数都举出一些例子 , 以强化画函数图像的能力 。 这次老黄选择的是一个带有根式的函数 。 它的图像仍可以用画图像的一般步骤来解决 。
作函数图像的一般步骤:1、确定函数的定义域;2、考察函数的奇偶性、周期性;3、求函数的某些特殊点 , 如与两个坐标轴的交点 , 不连续点 , 不可导点等;4、确定函数的单调区间 , 极值点 , 凸性区间以及拐点;5、考察渐近线;6、画出函数图象 。
练习:按函数作图的一般步骤 , 作f(x)=(x-1)x^(2/3)的图像.
请自己动手 , 按上面的一般步骤画出这个函数的图像 。
分析:先观察函数的定义域 , 显然 , 这个函数在R上都有定义 , 不存在间断点 。 如果有足够的经验的话 , 在这里就可以判断函数有不可导点x=0了 , 因为求导之后 , 发现导数在x=0没有定义 。
当f(x)=0时 , 直接可以得到函数的两个零点x=1和x=0. 说明曲线过原点 , 且与x轴还有另一个交点(10). 这些都是很重要的特殊点 , 是画函数图像的基本依据 , 可以先在坐标系中标出这些点 。
当x不等于0时 , 函数的导数为f’(x)=x^(2/3)+2(x-1)x^(-1/3)/3=(5x-2)x^(-1/3)/3 , 当f'(x)=0时 , 有函数唯一的稳定点x=2/5.
由f'(x)的符号性质可以知道 , 当x<0或x>2/5时 函数单调增;当0<x<2/5时 函数单调减. 又由极值第一充分条件可知 , 函数有极大值点(00) , 和极小值点(2/5-3倍三次根号20 /25).
求函数的二阶导数f”(x)=2x^(-1/3)/3+2x^(-1/3/3)-2(x-1)x^(-4/3)/9=(5x+1)x^(-4/3)/9 由二阶函数的符号性质可以知道 , 当x<-1/5时 曲线上凸;当x>-1/5时 曲线下凸 , 即是凹的.
又函数在x=-1/5连续 , 所以(-1/5-6倍三次根号5/25)是函数唯一的拐点 。
最后 , 函数并不存在渐近线 。
根据上面推导所得的信息 , 将函数图像的
可以看到 , 函数在R上有三个关键点 , 一个拐点x=-1/5 , 一个极大值点x=0和一个极小值点x=2/5. 这三个关键点将函数的图像划分成四个区间 。 在最左边的区间 , 函数是单调增且上凸的;在第二个区间 , 函数是单调增且下凸的;在第三个区间 , 函数是单调减且下凸的;在最右的区间上 , 函数是单调增且下凸的 。
【智能手表|含根式的函数图像怎么画?画图像的一般步骤就能解决】综上 , 画出函数的图像如图:
和你画出来的图像是否一致呢?
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