可导与连续的关系是什么？

文章插图
连续、可导与积分的关系1.一致连续性定理
若函数f（x）在闭区间【a，b】上连续，则f（x）在闭区间【a，b】上一致连续。
2. 可积的条件
（1）可积的必要条件
定理若函数f（x）在【a，b】上可积，则f（x）在【a，b】上必有界。
（2）可积的充分条件
定理1 若函数f（x）在【a，b】上连续，则f（x）在【a，b】上可积。
定理2 若函数f（x）在【a，b】上有界，且只有有限个间断点，则f（x）在【a，b】上可积。
定理3 若函数f（x）在【a，b】上单调，则f（x）在【a，b】上可积。
函数的可导性与连续性的关系：可导一定连续，连续不一定可导。
连续是可导的必要条件，但不是充分条件，由可导可推出连续，由连续不可以推出可导。可以说：因为可导，所以连续。不能说：因为连续，所以可导。
先看几个定义：
1、连续点：如果函数在某一邻域内有定义，且x->x0时limf(x)=f(x0)，就称x0为f(x)的连续点。
【可导与连续的关系是什么？】2、一个推论，即y=f(x)在x0处连续等价于y=f(x)在x0处既左连续又右连续，也等价于y=f(x)在x0处的左、右极限都等于f(x0) 。
这就包括了函数连续必须同时满足三个条件：
1、函数在x0 处有定义；
2、x->x0时，limf(x)存在；
3、x->x0时，limf(x)=f(x0) 。
初等函数在其定义域内是连续的。
1、连续函数：函数f(x)在其定义域内的每一点都连续，则称函数f(x)为连续函数。
2、连续性与可导性关系：连续是可导的必要条件，即函数可导必然连续；不连续必然不可导；连续不一定可导。典型例子：含尖点的连续函数。