大多数人的潜意识里 ， 数学的发现都是来自对于自然生活的观察归纳 ， 从一些具体的事物里总结出一套规律来 ， 并在数学演绎的体系里研究深化 ， 并最终得到更加一般的结论 。有的时候 ， 我们很幸运地得到了一些应用非常广泛的数学规律 。今天就来说说数学界里最著名的数学现象之一——斐波那契数列 。

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这个数列的名字就比较有风格 ， 这是一个人的名字 。1202年 ， 意大利数学家斐波那契出版了一本著作《算盘全书》 ， 在这本书里 ， 他第一个系统地研究了这个数列的相关性质 。
这个数列是这么定义的：

1. 最初的两项都是0,1；
2. 从第3项开始 ， 后一项都是前两项的和 。

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欧洲中世纪伟大的数学家 斐波那契
斐波那契出生在1175年 ， 他的父亲在北非经商 ， 小伙子从很小的时候就开始协助父亲工作 ， 在协助父亲做生意的过程里 ， 他接触到阿拉伯数字 ， 他发现阿拉伯数字书协起来比罗马数字更简洁也更容易记忆 。在这几年的耳濡目染过程中 ， 斐波那契不断总结着一些计算方面的技巧 。于是他前往地中海一带 ， 向当地的数学家学习 ， 经过几年的学习和总结 。1200年回国之后 ， 他把自己在计算方面的经验和研究写成一本巨著《算盘全书》 。这本书记录了大量利率 ， 记账 ， 会计学方面的内容 ， 是当时的一部很实用的会计学教材 。这本书诞生在欧洲的中世纪时代 ， 应该算是当时的人们数学计算的启蒙书籍了 。
我们在数学上得到了这个数列的递推关系：

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斐波那契数列递推关系
其实从递推关系上来看 ， 这个数列很容易把每一项都计算出来 ， 但是通项公式却不是那么显而易见 ， 至少在中学时代的数学知识里很难把这个数列的通项公式解出来 。这里 ， 晓然菌只介绍一种看起来很“省事”的解法——特征值法 。

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特征值法求解斐波那契数列通项公式
这里不去深究为什么特征值法要=可以这么用 ， 我们只是用一种简单的方法来解出这个数列的通项公式 ， 结果能让大家比较容易接受就行了 。
很多人第一次看到斐波那契数列的通项公式是这个样子感到难以接受 ， 为什么这个数列这么反直觉？明明都是自然数构成的数列 ， 为什么通项公式里会出现两个无理数的n次方形式 。
其实如果仔细推敲其公式的推导过程就容易 ， 这里的λ1,λ2可不是普通的无理数 ， 这两个数之间存在2个特殊的的性质 ， 这就是：λ1=λ2-1 ， 并且1/λ1=λ2 。0.618和1.618也叫黄金比例共轭 。正是因为这样的性质 ， 在通项公式里 ， 两个无理数n次方的小数部分总是可以互相抵消 ， 最后只可能有自然数的部分存在 。研究一个数列 ， 如果都可以求出来通项公式 ， 那么它的性质就基本上已经揭示大半了 。
晓然菌在中学时代曾经参加过一个信息学竞赛 ， 其中有道编程题是这样子描述的：

有一个十级的楼梯 ， 每次可以选择跳一级 ， 或者两级 ， 请问一共有多少种跳法？

当时拿到这个题目的时候很容易就会往复杂的方面思考 ， 想了想之后就发现自己当时是没有能力根据题意直接编写出方法来的 ， 于是只好涂涂画画 ， 先枚举几个看看结果 。
跳到第1级：1种；
跳到第2级：1+1=2种；
跳到第3级：1+2=3种；
跳到第4级：2+3=5种；
...
这后面的数目不刚好就是斐波那契数列嘛 ， 于是这道编程题被顺利地做出来了 。当然 ， 当年斐波那契定义这个数列的时候用的不是这个例子 ， 他用的是兔子繁殖的例子 ， 同样也生动形象 。

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黄金分割比的典范 雅典帕特农神庙
这个世上的数列千千万 ， 为什么这个数列的知名度最高呢？恐怕很大程度上都是因为 ， 这个数列中体现了黄金分割率 。我们都知道斐波那契数列的后一项比上前一项会逐渐逼近黄金分割比 。通项公式推导过程中的Ф就是黄金分割率 ， 这也是自然界优美形象的代名词 ， 很多自然界的事物都体现出这个优美的数字 。还记得之前文章里提到过的连分数形式吗？用连分数可以用最最简单的方式来描述黄金分割比 ， λ2=1.6180339887...=[1;1,1,1,1...] ， 
λ1=0.6180339887...=[0;1,1,1,1...].
在摄影中 ， 经常会在取景器里设置一种叫作斐波那契螺线分构图方式 ， 而不是普通的三段式 。这样的螺旋线是怎么构造的呢？

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斐波那契螺线构图在摄影中的应用
以1*1的正方形为初始位置 ， 从顺时针或者逆时针方向分别构造出2*2,3*3,5*5,8*8的正方形 ， 再把每个单独正方形里取四分之一圆 。由于所有的正方形部分都是以同样的方向绕行的 ， 所以相邻正方形的弧线可以首尾连接 ， 最后就做成了一条斐波那契螺线 。

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斐波那契螺线构造
用这样的构图方式 ， 可以非常突出重点 ， 照片看起来更加自然真实 。
我们来做一个很有意思 的题目 ， 故意把斐波那契的元素写成下面的形式 ， 并进行累加 。

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斐波那契数列拆分小数和
大家觉得如果把斐波那契数列的每一项拆成这样的小数 ， 然后求和 ， 最后会是一个什么结果呢？是不是又会诞生一个让人摸不着头脑的超越数？然而 ， 凡事总有以外 ， 晓然菌却要告诉你这个和其实是一个很简单的有理数 。

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拆分小数和的推导过程
你没看错 ， 结果就是等于相当干脆的1/89！真心感谢第一个发现这个结果的大神！
我相信下面的这张图片很多人都见过 ， 也曾经思考过 。

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多出来的面积1是怎么来的
上下两个图片明明是一模一样的 ， 为什么 ， 下面的图形会空出一个小方格出来呢？
我们来探讨一下原因 ， 仔细观察 ， 我们就能发现 ， 其实这两个“大三角形”组成斜边的两条线 ， 斜率并不一样 ， 绿色小三角形的斜率是2/5,黄色三角形斜率是3/8 ， 这是不同的斜率 ，  ， 说明这两条线段事实上并不共线 ， 但是由于斜率之间相差不大 ， 在允许有作图误差的情况下 ， 看起来就像是一条直线了 。

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使用CAD精确绘制 ， 可发现在斜边上重合部分不同
如果大家用精准的作图工具来测算 ， 你会发现 ， 斜边上黄色三角形与绿色三角形的定点其实并不会重合在网格的点上 ， 而是会有点朝“大三角形”的外部 ， 就是这么稍微一丁点的误差 ， 使得在视觉上“偷偷”隐藏了一个1的面积 。这个经典的视觉误差小魔术是1953年是由纽约市业余魔术师保罗·嘉理（Paul Curry）发明的 。
说到这里 ， 这个有趣的小把戏跟斐波那契数列有什么关系吗？当然有关系了 ， 图里不同颜色部分的边长从小到大依次排列是 ， 1,2,3,5,8,13 ， 不都是数列中的元素么？重点看斜边的斜率组成 ， 2,5,3,8,满足2×8=3×5-1 。由此我们要写出斐波那契数列一个重要的关系式：

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视觉魔术的根源所在
这个式子才是上述图形构造的根源 ， 我们当然也可以通过其他数组元素来构造更加精细难以察觉的视觉小魔术！有兴趣的同学们可以自己来试试 。
斐波那契数列本身是一串自然数的组合 ， 那肯定少不了要和数论扯上关系 。比如 ， 我们可以从杨辉三角里很轻松地把斐波那契数列“揪”出来 。

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【常见的数列分析 生活中数列的例子有哪些】杨辉三角中可以轻易“揪出”斐波那契数列来
我们以杨辉三角最初始的1开始 ， 以一定的角度作一组平行线 ， 这些平行线会划过一系列的三角中的元素 ， 我们把划过的这些三角元素求和 。假如平行线的角度很恰当 ， 我们就会得到斐波那契数列 。事实上 ， 这里是有隐藏得不算太深的数学原理的 ， 利用斐波那契数列的通项公式和杨辉三角的递推性质 ， 我们可以用不算高明的方法来证明这个结论的 ， 这里就不叙述了 。
既然说到数论了 ， 怎么可以不谈素数相关的话题呢？于是一个猜想呼之欲出：

斐波那契数列的元素里是否有无穷多个素数？

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但凡和素数扯上关系的问题一不小心就巨难无比
其实不出我们意料之外 ， 这个猜想到目前为止没有证明 。人们得出过一个弱化了的结论 ， 在序数大于3之后 ， 假如斐波那契数列元素是素数 ， 那么这个序数也一定是素数 。值得注意的是这个命题的反命题不成立！和素数相关的很多问题好像都有相似的风格 ， 轻描淡写的一句话 ， 简单到不用任何的数学知识都可以理解 。但是 ， 很不好意思 ， 通常都得是一百几十年来一直都没有人解决 。斐波那契素数的这个猜想也完全是这样的逼格 ， 哎 ， 让人望洋兴叹！

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斐波那契季刊 LOGO
上面说到这么多关于斐波那契数列的性质和应用 ， 实际上远远不止 。几乎每隔一段时间 ， 数学界都会有新的关于这个数列的发现 。假如有一个著名且专一的数学家 ， 他只研究斐波那契数列 ， 恐怕一辈子都难以挖掘出这个数列的全部性质 ， 甚至 ， 他的高产也会让人无比惊叹 。我们可以称呼这样的数学家为“斐波那契学家” ， 就跟我国研究红楼梦的专家一样 ， 他们可以被称作红学家 。正是因为斐波那契数列可以确保如此的成果产出 ， 1963年 ， 美国发行了《斐波那契季刊》（Fibonacci Quarterly） ， 专门刊载关于这个数列的研究成果 ， 这个杂志到现在也仍然以每年4期的速度出版着 ， 甚至还成立了一个斐波那契数委员会 。
在数学上几乎不会再有斐波那契数列还要有内涵的数学概念了 。如此简单的一个数列 ， 跨越了数学的多个领域 ， 在这些领域中 ， 我们也看到与之牵扯的问题深度不一 。对于数学家来说 ， 她就像一个既熟悉又陌生甚至害怕的一个朋友 ， 你永远不知道在她美丽的面庞下面隐藏着多少秘密 。