自然数是什么?自然数有哪些数字


自然数是什么?自然数有哪些数字

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一.概念描述
现代数学:长期以来,人们虽然能够在日常生活中运用自然数,描述自然数,却不能严格地定义自然数 。19世纪末,数学研究崇尚严密,尤其崇尚用公理化方法定义数学对象 。1889年,意大利数学家皮亚诺建立了自然数的公理系统 。其中使用了两个形式符号:1
和’,它们要满足以下五条公理:①1是自然数;②每个自然数a都有一个后继a’;③1不是任何自然数的后继;④若a’=b’则a=b;⑤(归纳公理)自然数的某个集合若含1,而且如果含一个自然数a就一定含a’,那么这个集合含全体自然数 。满足这5条公理的对象称为自然数 。所有自然数所组成的集合记为N 。不过,由于在数学理论的发展中自然数集的定义不包含0,这种按照皮亚诺最初的记法来定义的自然数系,也是从1开始的,不包含0 。1993年我国开始使用新的国家标准定义自然数集N含0,这时就要将公理中的1换成0 。小学数学:自然数这个概念虽然在数学上有严格的定义,但是对于小学生而言过于抽象 。因此,在小学阶段,2011年人教版教材四年级上册只是举了一些实例来描述自然数这个概念,即表示物体个数的1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,…都是自然数 。一个物体也没有,用0表示 。0也是自然数 。
二.概念解读
“自然数”这一术语首先被罗马学者波伊修斯使用 。在古代,所谓数,就是指自然数 。我国文献《周易·系辞传下》中有古人“结绳记数”和“刻痕记数”的记载 。西方的荷马史诗中有盲人波吕斐摩斯用“石头计数羊群”的故事,说明自然数就像它的名字那样是基于人们生活的实际需求“自然地”产生的 。
古代先人们在生产和生活实践中,通过对物件的计量逐渐形成了“多少”的概念 。渐渐地,从一只羊、一个人、一块石头,抽象出自然数“1”的概念 。同样从3个猎物、3棵树,抽象出自然数3的概念 。不过,开始时没有语言文字,只是用“绳结”作为替代物,一一对应地仿制下来,形成等价集合 。后来根据数量大小不同就有了关于“自然数”的言语称谓:yi、er、san ......于是,面对一个群体,就可以计算它的多少了,办法就是数 。后来传说中的仓颉造字,出现了“一”、 “二”、“三”的字样 。目前通用的数字记法1,2,3等是古印度人创造的,并通过阿拉伯人传到西方 。20世纪以来,我国也和国际接轨,大量使用这种记数法 。这一简单的历史追溯,解释了朴素的自然数概念的漫长形成过程 。
在义务教育数学课程中,数的概念包括自然数、整数、有理数等 。其中,自然数亦称非负整数,是数系中最基本的一种数 。它是在数数过程中产生的 。作为数数的结果,自然数反映了被数事物的个数,回答了—个集合含“多少个元素”的问题,这是自然数作为基数的特点;作为数数的过程,自然数又反映了被数事物的先后顺序,以及自然数的无限性,回答了“第几个”的问题,这是自然数作为序数的特点 。二者彼此相通,共同反映了离散事物的记数特征 。如果一个事物也没有,就形成了“0”的概念 。0比1还小,所以排在自然数列的最前面,而数1是自然数的单位 。从0开始,以后逐次加1,这样无限地进行下去就可以得
到全体自然数 。所以,自然数集合是无限的 。对于任何一个确定的自然数,总还存在比它更大的自然数 。
当然,除了将自然散作为基数和序数,还应该从多角度理解自然数的特征 。首先,自然数作为问题“多少次?”的答案,在语言上是数副词,它可以看作“一个行为或一个过程反复出现次数”的标记 。其次,自然数作为与所选单位有关的表示大小的量数----相关问题是“多大?多长?多重?”等,还可以作为度量的结果 。同时,理解自然数还可以用集合语言进行解释 。但自然数一旦生成之后,又成了一个代数结构,这时它又称为了“计算”的对象 。最后,从代码角度审视自然数时,我们会发现它又能被用作对象的区分与标记(如电话号码,邮政编码,坐标等) 。
自然数概念是人类积累数学知识的开端,也是一切数学知识的基础 。而小学生学习的是朴素的自然数知识,是依赖自身生活经验建立起来的 。
三.教学建议
自然数作为人类最初认识的数,是整座数学大厦的基础,是重要的数学概念 。同时,自然数概念本身又是抽象的,它的概念建立也不是一次就能够完成的 。因此,教材根据儿童已有经验、心理发展规律,按照螺旋上升的编排原则,将自然数概念的教学划分为若干阶段 。在儿童步入小学校门的第一学期,组织他们学习20以内各数的认识 。这是自然数概念中最基础的知识之一,是建立数感的开始,也是认数教学的第一阶段 。到了第二学期,教材将认数范围从20以内扩展到100以内,这是认数教学的第二阶段 。升人二年级后,教材又将认数范围扩展到万以内 。随着孩子年龄的增长,作为万以内数认识的巩固和扩展,学生又在四年级学习大数的认识,这也是学生必须掌握的最基础的数学知识之一 。
①低年级教师要重视“数数”的教学,深入挖掘“数数”的教育价值 。首先,“数数”活动是学生形成“数概念”的基础 。通过一个一个地数,学生知道了某个集合的数量,通过2个2个地数或5个5个地数,学生丰富了对“数”的认识 。通过数列的变化规律,学生进一步认识数的特性 。其次,“数数”活动中蕴含着丰富的数学思想 。在数数时,特别是点数时,学生必然用到一一对应的原则,即每说一个数必然对应一个物体 。而一一对应作为数学中重要的数学思想,它能够建立起事物与事物之间的对应关系 。
②要重视学生的操作活动体验 。数(自然数)表明的是事物与事物之间的相互关系,是一个物体在一个序列中的位置以及一组物体中包含了多少个物体 。这种关系不是直接用语言来教的,而是需要学生通过多种感知、操作在活动中不断体验、发现、创造的 。
③要重视“齐性”、“结构性”直观学具的使用 。既然在教学中要重视学生的操作活动,那么为学生提供可操作的、直观化的学具就显得尤为重要 。这些材料包括手指,小棒,豆子,第纳斯木块这样一些“齐性”材料,还包括计数器,数位筒,算盘这样一些“结构性”的直观学具 。
四.推荐阅读
(1)《小学数学研究》(张奠宙等,高等教育出版社,2009)
该书第二章主要从自然数概念的产生、意义及特征等角度对自然数进行了论述 。
(2)《小学数学课堂的有效教学》(刘加霞,北京师范大学出版社,2008)
【自然数是什么?自然数有哪些数字】该书从自然数概念的本质把握、教学方式及学具使用等多角度,对自然数教学进行了较详实的介绍,对广大低年级一线教师教学有一定的指导意义 。