【分付|函数y=5x(3-x)^2在区间[0, 3]上的最大值】

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求函数y=5x(3-x)^2x∈[03
上的最大值主要内容：本文主要内容是通过不等式法和导数法等 ， 介绍计算函数y=5x(3-x)^2在区间【0 ， 3】上最大值的计算步骤 。
※.不等式法对正数a ， b ， c ， 有不等式：
a+b+c≥3*(a*b*c)^(1/3)
当且仅当a=b=c时 ， 不等式取到等号 。
不等式变形有：
abc≤[(a+b+c)/3
^3.
对于本题：
y=5x(3-x)^2
=5/2*2x*(3-x)*(3-x)
≤5/2*[(2x+3-x+3-x)/3
^3
=5/2*[(2x+3-x+3-x)/3
^3
=4*5*3^3/27.
当3-x=2x时 ， 即x=1∈[03
时取最大值 。
ymax
=20 。

※.导数法∵y=5x(3-x)^2
∴y'
=5(3-x)^2-10x(3-x)
=5(x-3)(3x-3).
令y'=0 ， 则x1=3x2=1.
判断函数的单调性如下：
（1）.当x∈[0 ， 1
时 ， y'>0 ， 此时函数y在区间上为增函数；
（2）.当x∈[1 ， 3
时 ， y'<0 ， 此时函数y在区间上为减函数 。
则当x=1时 ， y有最大值 ， 即：
ymax=f(1)=20.

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