定理|数学、机器与人类思维，数学是逻辑的还是形式的？( 三 )

从总体上看，数学是由定义、概念、逻辑规则、定理、证明、推论等一系列的演绎模式组成的严密的、抽象的体系。可是具体地回想我们做几何定理证明的全过程，就会意识到这个严密的体系其实是呈现给大家的最后结果。而在这个结果之前，还不知道要做多少回的试验。比如在证明一个几何定理时，为了寻找那条辅助线，我们总是在这个方向上比一比，在那个方向上画一画，猛然间找到了那一条合适的辅助线，还觉得是一种幸运。
持续了20多个世纪的信念——数学是演绎的，正在遭到动摇，这一巨大变化是计算机引起的。但是应该指出的是，计算机是使得数学中的实验成分被突显出来，因为事实上数学是具有实验性的一面，而不是因为有了计算机才有了数学实验。正如一些人已经指出的，计算机在数学中的应用只是扩大了数学实验的规模。
总之，我们说在严密、抽象的数学背后，有着一个很漫长的试验过程，而这个过程在数学的最终成果表达中被隐去了。久而久之，就给人们造成了一种错觉，数学就是非常人所能研习的抽象的演绎科学。但是现在计算机把数学中的这一实验工作阶段的重要性显示出来。
数学实验是按照程序设计，在思维中进行的一种特殊的论证方式。要进行数学实验，先是要建立数学模型，因为数学实验是对数学模型的一种实验。它既不同于在自然科学中的实物实验，也不同于逻辑中的形式推理。对于实物实验来说，它需要借助于物质的手段，进行实际的操作和测量，然后再做数据处理，最后分析整个实验过程;而对于逻辑中的形式推理，则是借助于语言进行形式的变换。但是数学中的实验与自然科学中的实验在功能上是相同的∶都是在一次又一次的试验中获得所需要的结论。
在数学实验之后，不管是得到的猜想还是进一步验证的猜想，一定要给出数学上的逻辑证明。这是数学与其他自然科学的本质差别之所在，也是它自己保持正确的必要手段。在实验中无论得到的猜想多么漂亮、多么有用，如果没有一个严格的证明，它就永远不能被数学界承认。当然就目前数学的现状而言，你可以给出像过去那样的演绎证明，也可以给出像解决四色问题、机器定理证明那样的计算机证明。
在计算机上进行数学实验，必须要做程序设计方案。数学实验中的程序设计与一般采用的固定地重复某些运算步骤的方法是不同的。确切地说，它所做的程序设计并不给出机器每一步怎么，而只是给出机器所要遵循的原则和规律。举例来说，从甲地乘车到乙地，不是事先规定你必须从甲地乘坐某次车，中途再换乘某次车，最后怎样到达乙地;而是给出甲地和乙地的地理位置、交通干线和车辆的流通情况，至十具体乘哪班车，需根据有关情况随机判断和选择。也正是这个意义上，机器可作为进行数学研究的实验工具。实践表明，借助计算机的判断和选择能力，通过实验可以启发数学家的思维，从而使一些问题得到解决。