Babai的证明结合了组合学和群论，是一个非常棒的工作。虽然距离让这个算法能够在多项式时间内执行完还有些远，但是Babai提供了一个重要的理论结果。这在P和NP完全问题之间取得了一项重大的进展。如果NP在完整的电路设计的基础上（也就是与或非门）没有最小的电路，那么就不存在P=NP的解。虽然在1980年代的电路发展黄金年代中，没有明确的证明否定P=NP的假设。在2009年的各项调查中，也说明在过去20年中，电路复杂性也没有取得重大的成果。在1987年，Razborov和Smolensky证明说不可能用与或非和Mod_p门的恒定深度电路计算某些固定素数p的多数函数。但是对于带有Mod_6门的电路来说，我们几乎无法证明这个结果。即便是我们可以证明NEXP（NP的指数时间版本）无法通过与或非和Mod_6门的小型、恒定深度的电路进行计算，P和NP是否相等的问题在几十年见也仍旧无法得到解答。话说回来，恒定深度的电路在理论上被认为是具有很弱的可计算性的，我们在这些年一直没有取得实质性的进展，在电路的算法最新产出上的无人问津也侧面证明了这个现象。在2010年，Rayan Williams表明NEXP确实不具有那些使用Mod_6或其他Mod门一样的恒定深度的电路。因此，他创造了一种新的技术，使用可满足性算法进行解决。这种算法的实现下界比尝试所有可能，或者使用一些复杂性工具来暴力实现来说要好一些。后来，Williams和他的学生Cody Murray进行了进一步的研究，结果表明，可以在任何固定的没有带Mod_m门的小的恒定深度的电路中，都有非确定性拟多项式时间的解。然而，证明NP没有任意深度的小回路这个问题，仿佛仍然遥不可及。在2009年的那篇综述中，我在名为“新希望”的章节中讨论了一种新的几何复杂性理论方法，这个方法基于Ketan Mulmuley和Milind Sohoni开发的代数几何和表示论来攻克P和NP问题。简而言之，Mulmuley和Sohoni创建了高维的多边形空间，以在NP的代数版本中找到P和NP的映射，从而在这个空间中重构、理解并解决该问题。他们的一个猜想中，假设多边形包含某个表示理论对象的特殊属性。在2016年，Peter Burgisser、Christian Ikenmeyer和Greta Panova从理论上证明了这种方法是不可能滴。虽然Burgisser和Ikenmeyer、Panova的研究成果否定了GCT分离P和NP的方法，但是并没有将这种实验方法和思路进行否定。人们仍然可以根据这种表示理论对象的数量创建不同的多边形空间。尽管如此，我们还是无法孤注一掷的认为多边形方法能够在不久的将来解决P和NP的问题。当我们反思P和NP问题时，我们看到这个问题有很多不同的含义。P和NP的数学正式定义仍然是它的官方定义，虽然很冷冰冰但是含义最为完全。而且能够解决这个数学问题的人还能给你的到数百万美元的赏金不是吗。有时候，我们虽然可以通过可计算理论、电路、证明和代数几何等工具看到解决P和NP的方法，但是目前没有能够完全解决P和NP问题的有力方法。从这个角度上来说，我们正在抽象P和NP问题到一些领域中，降低了它的难度，也就是距离原问题越来越远。在现实生活中，我们也有很多秉待解决的实际NP问题。在1976年出版的经典著作《计算机与难处理性：NP完全性理论指南》一书中，Garey和Johnson举了一个倒霉的员工的例子，他老板让他去解决一个NP完全优化的问题。最终的时候，这个员工苦恼地找到老板说，我实在没辙了，找不到一个有效的算法来解决这个问题，而且不光是我，这个世界上不管是比尔盖茨还是沃兹尼亚克都束手无策。书中说，这个老板不应该解雇这名员工，因为没有其他的人能够解决这个问题。
